기하와 벡터(25)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 벡터를 이용하면 다양한 관계식을 간단히 나타낼 수 있다. 본문에서는 원의 방정식을 벡터를 이용하여 표현하는 법에 대하여 알아볼 것이다.

 자, 지금부터 점 A(a_{1}, a_{2})를 원의 중심으로 하는 원의 방정식을 벡터를 이용하여 표현해 보자. 원 위의 임의의 점을 P라고 하면

$$\overset{\longrightarrow}{AP} = \vec{p}-\vec{a} \text{이므로}$$

$$\left| \overset{\longrightarrow}{AP} \right| = \left| \vec{p}-\vec{a} \right|$$

 이때 원의 반지름의 길이를 r이라고 하면

$$\left| \overset{\longrightarrow}{AP} \right| = r$$

 따라서 구하는 원의 방정식은

$$\left| \vec{p}-\vec{a} \right| = r$$

 즉, 이와 같이 나타낸 벡터에서 점 P가 나타내는 도형이 원이 되며, 이 원의 중심은 점 A가 된다. 이 방정식을 다음의 형태로 표현할 수도 있다.

$$\left| \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \right| = r$$

 양변을 제곱하면

$$\left| \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \right|^{2} = r^{2}$$

 벡터의 내적의 성질의 의하여

$$\left| \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \right|^{2} = \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \cdot \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \text{이므로}$$

$$\left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) \cdot \left( x-a_{1} \text{, } y-a_{2} \right) = r^{2}$$

$$\left( x-a_{1} \right)^{2} +\left( y-a_{2} \right)^{2} = r^{2}$$

 아마 이 글을 읽고 있는 독자들에게는 위 꼴의 방정식이 더 익숙할 것이다. 이전의 직선의 방정식을 구하는 글^[각주:1]에서 얘기했듯이 원의 방정식 또한 상황에 따라 위 두 가지 형태 중 편한 것을 사용하면 된다.

 

 

 

나는 수학에 흥미를 갖지만, 그것은 창조적 예술로서의 수학이다.

-하디

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1. <기하와 벡터(24)> [본문으로]