기하와 벡터(23)

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 좌표평면 위에 세 점이 주어지면 특정한 하나의 삼각형이 결정된다. 이러한 삼각형의 넓이를 알기 위해서는 한변의 길이와 그 변에 대응되는 삼각형의 높이, 또는 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이의 끼인 각의 사인값을 알면 된다. 그러나 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표만을 주고 삼각형의 넓이를 구하라고 할 때 앞의 방법만으로 구하면 상당히 불편하다. 벡터를 이용하면 이러한 방법을 사용하지 않고도 삼각형의 꼭짓점의 좌표만을 이용하여 쉽게 삼각형의 넓이를 구해낼 수 있다.

사선 공식

삼각형의 세 꼭짓점의 좌표가
$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) \text{, } \left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) \text{, } \left( c_{1} \text{, } c_{2} \right) $$
로 주어졌을 때, 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.
$$ S = \frac{1}{2} \left| c_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}c_{2} -a_{1}c_{2}-b_{1}a_{2}-c_{1}b_{2} \right| $$
특히 (c_{1}, c_{2})=(0, 0)인 경우
$$ S = \frac{1}{2} \left| a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2} \right| $$

 이 방법은 흔히 사선 공식 또는 신발끈 공식으로 알려져있는 공식이다. 이는 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알 때 상당히 효율적으로 구할 수 있어 고등학교에서 좌표평면 위에 있는 삼각형의 넓이를 구하는 문제에서 많이 사용하는 방법이다. 그러나 이 사선 공식을 사용하는 대부분이 이를 유도하는 방법에 대해서는 잘 모른다. 본문에서는 사선 공식을 유도하는 과정에 대하여 다룰 것이다. 아래는 사선 공식을 유도하는 과정이다.

 먼저 세 점 A(a_{1}, a_{2}), B(b_{1}, b_{2}), O(0, 0)를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABO를 생각해보자.

좌표평면 상에 나타낸 삼각형 ABO.

두 선분 OA, OB 사이에 끼인 각의 크기를 θ라고 하면 삼각형 ABO의 넓이 S는 다음과 같다.

$$ S = \frac{1}{2} \overline{OA} \cdot \overline{OB} \sin{\theta} $$

또한 벡터 a, b를 각각 점 A, B를 종점으로 하는 위치벡터라고 하면

$$ S = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \sin{\theta} $$

이때 벡터의 내적에 의하여

$$ \cos{\theta} = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| } \text{이고,} $$

$$ \sin{\theta} = \sqrt{ 1-\cos^{2}{\theta} } \text{이므로} $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \sqrt{ 1-\left( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| } \right)^{2} } $$

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left| \vec{a} \right|^{2} \cdot \left| \vec{b} \right|^{2} -\left( \vec{a} \cdot \vec{b} \right)^{2} } $$

또 벡터의 내적의 정의에 의하여

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2} \text{이고,} $$

$$ \left| \vec{a} \right| = \sqrt{ {a_{1}}^{2} +{a_{2}}^{2} } \text{, } \left| \vec{b} \right| = \sqrt{ {b_{1}}^{2} +{b_{2}}^{2} } \text{이므로} $$

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( {a_{1}}^{2} +{a_{2}}^{2} \right) \cdot \left( {b_{1}}^{2} +{b_{2}}^{2} \right) -\left( a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2} \right)^{2} } $$

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ { a_{1} }^{2} { b_{1} }^{2} +{ a_{1} }^{2} { b_{2} }^{2} +{ a_{2} }^{2} { b_{1} }^{2} +{ a_{2} }^{2} { b_{2} }^{2} -\left( { a_{1} }^{2} { b_{1} }^{2} +2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} +{ a_{2} }^{2} { b_{2} }^{2} \right) } $$

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ { a_{1} }^{2} { b_{2} }^{2} +{ a_{2} }^{2} { b_{1} }^{2} +2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} } $$

$$ S = \frac{1}{2} \sqrt{ \left( a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} \right)^{2} } $$

$$ \therefore S = \frac{1}{2} \left| a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1} \right| $$

 자, 삼각형의 꼭짓점 중 하나가 원점에 있는 경우에 대하여 사선 공식이 성립함을 보였다. 이를 확장하여 좌표평면 위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형에 대하여 성립함을 보이자. 먼저 세 점 A(a_{1}, a_{2}), B(b_{1}, b_{2}), C(c_{1}, c_{2})를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABO를 생각해보자.

좌표평면 상에 나타낸 삼각형 ABC.

 우리는 한 점이 원점 위에 있는 삼각형에 대하여 사선 공식이 성립함을 알고 있으므로 점 C가 원점이 되도록 삼각형 ABC를 평행이동하자. 이때 세 점 A, B, C를 평행이동하여 만든 점이 각각 A', B', O라고 하면 세 점 A', B'의 좌표는 각각 (a_{1}-c_{1}, a_{2}-c_{2}), (b_{1}-c_{1}, b_{2}-c_{2})이다. 따라서 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나가 원점에 있는 경우의 사선 공식에 의하여 삼각형 A'B'O의 넓이 S는 다음과 같다.

$$ S = \frac{1}{2} \left| \left( a_{1}-c_{1} \right) \left( b_{2}-c_{2} \right) -\left( a_{2}-c_{2} \right) \left( b_{1}-c_{1} \right) \right| $$

$$ S = \frac{1}{2} \left| a_{1}b_{2} -a_{1}c_{2} -c_{1}b_{2} +c_{1}c_{2} -\left( a_{2}b_{1} -a_{2}c_{1} -c_{2}b_{1} +c_{2}c_{1} \right) \right| $$

$$ \therefore S = \frac{1}{2} \left| c_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}c_{2} -a_{1}c_{2}-b_{1}a_{2}-c_{1}b_{2} \right| $$

 여기서 구한 넓이는 삼각형 A'B'O의 넓이이다. 이 삼각형은 삼각형 ABC를 평행이동하여 만든 삼각형이므로 두 삼각형의 넓이는 같다.

이름의 유래

$$ S = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & a_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & a_{2} \end{vmatrix} $$

 이 공식의 이름의 유래는 위 그림과 같은 형태로 식을 그릴 수 있기 때문이다. 위 그림에서 대각선으로 이어진 값은 곱해주며, 색이 같은 대각선끼리 더해준 후, 색이 다른 대각선의 차를 계산해 준 뒤, 이를 2로 나누어 넓이의 값을 구하는 과정이 마치 신발끈을 묶어놓은 모습과 닮았다고 하여 신발끈 공식, 대각선으로 표현된다하여 사선 공식이라는 이름이 붙었다. 즉, 구하는 과정을 다음과 같이 정리할 수 있다.

1. 대각선으로 이어진 값끼리 곱한다.
2. 색이 같은 대각선끼리 (1.)에서 더해진 값을 더한다. 즉, 파란색 대각선은 파란색 대각선끼리, 빨간색 대각선은 빨간색끼리 곱해준다.
3. (2.)에서 더해진 값이 둘 나온다. 이 두 값의 차를 구해준다.
4. (3.)에서 나온 값을 2로 나누어 주면 구하는 넓이가 나온다.

 다른 다각형에 대해서도 동일한 과정을 거치면 다각형의 넓이를 구할 수 있다. 단, 이 방법으로 넓이를 구하기 위해서는 두 개 이상의 변이 교차하지 않는 다각형의 경우에만 가능하다. 그러나 이 조건만 만족하면 오목 다각형이든 볼록 다각형이든 관계없이 넓이를 구하는데 사용할 수 있다.

 

 

 

수학에 대해 좀 더 많은 것을 알 수 있는 기회를 가졌던 많은 사람들은, 수학을 산술과 혼동해서 딱딱한 과학이라고 생각한다. 그러나 사실 수학은 엄청난 상상력을 필요로 하는 과학이다.

-소피아 코발레프스키

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