확률과 통계(3)

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 우리가 흔히 외식을 할 때, 또는 친구들과 모여서 카드 게임 등을 할 때 주로 탁자나 바닥에 원형으로 둘러 앉는다. 둘러 앉으면 상황에 따라 앉는 방법을 결정해주어야 하며, 몇몇 상황에 따라 그 앉는 방법에 따라 진행이 달라질 수 있다. 그럼 이때 사람들이 둘러 앉는 경우의 수를 어떻게 구할 수 있을까?

원순열

 위의 상황을 해결하기 위해 다음과 같은 순열을 생각해볼 수 있다.

하나의 원호를 인접한 두 사람의 거리를 어디서 측정하든 동일하게 떨어진 체로 앉는다.

단, 회전하여 동일하게 만들 수 있는 경우는 동일한 경우로 취급한다.

이처럼 회전하여 같아지는 경우를 모두 하나의 경우로 취급하는 순열을 회전하여 같아지는 모습이 마치 원과 같다고 하여 원순열이라고 한다. 원순열이라고 해서 특별히 구해야하는 방법이 달라지는 것은 아니다. 보정을 하나 해주어야 하는 것에서 차이가 있을 뿐이다. 먼저 n명의 사람이 n개의 자리가 있는 원탁에 앉는 경우의 수를 구해보자. 단, 회전하여 일치하면 같은 경우로 취급한다.

원형으로 둘러앉은 모습

 먼저 회전을 생각히지 않고 배치하는 경우의 수는 서로 다른 n개에서 n개를 택하여 나열하는 경우의 수와 같으므로 n!이 된다. 위의 경우처럼 앉았을 경우 회전하여 A가 다른 자리에 앉는 경우의 수는 지금의 경우를 포함하여 n이다. 마찬가지로 다른 경우에 대해서도 회전하여 일치하는 경우가 n개 있다. 따라서 구하는 경우의 수는 (n-1)!이다.

$$ (n-1)! \text{, } \frac{n!}{n} $$

 이를 확장하여 n명의 사람 중 r명을 택하여 원탁에 앉히는 경우의 수를 구하면 다음과 같다.

$$ \frac{ {}_{n} \mathrm{P}_{r} }{ r } $$

비슷하지만 다른 원순열

 또 다른 원순열은 약간 다른 형태로 이루어진다. 물론 원순열이기에 회전하여 같은 것은 하나의 경우로 취급한다. 바로 다각형으로 이루어진 탁자에 둘러 앉는 경우이다. 탁자에 둘러앉는 경우는 정다각형인 탁자에 둘러 앉는 경우와 직사각형인 경우 두 가지로 나눌 수 있다.

우측의 그림은 정다각형인 탁자에 둘러앉는 경우이며, 좌측의 그림은 직사각형인 탁자에 둘러않는 경우이다.

 사람 m명을 정n각형 탁자에 둘러 앉히는 경우의 수를 구해보자. 이 방법 또한 위에서 경우의 수를 구하는 방법과 동일하다. 이 경우에도 마찬가지로 회전에 관계없이 사람을 앉히는 경우의 수는 m!이다. 이때 정n각형은 회전시켜 같아지는 경우가 n개 나오므로 구하는 경우의 수는 (m!)/n이 된다.

 직사각형에서도 동일한 방법으로 구할 수 있다. 사람 m명을 직사각형 탁자에 둘러 앉히는 경우의 수를 구해보자. 이 경우에도 마찬가지로 회전에 관계없이 사람을 앉히는 경우의 수는 m!이다. 이때 직사각형은 회전시켜 같아지는 경우가 2개이므로 구하는 경우의 수는 (m!)/2이 된다.

 지금까지 글을 읽으면서 눈치챘을지도 모르겠다. 원순열의 경우의 수를 구할 때에는 회전하여 겹치는 경우의 수로 나누어 겹치는 경우를 제하여 주면 된다. 너무 간단한가? 간단하지만 원순열의 경우의 수를 구하는 기본적인 방법은 이것이 전부이다.

$$ \frac{ \text{회전을 생각하지 않는 경우의 수} }{ \text{한 경우를 회전하여 나올 수 있는 경우의 수} } $$

원순열 문제에 대한 조언

 유독 원순열을 푸는 기본적인 방법이 간단하다 보니 원순열 문제를 너무 쉽게 여기는 경향이 있는 것 같다. 그러나 원순열 또한 다른 문제들과 마찬가지로 어렵게 만들려면 한없이 어렵게 만들 수 있다. 그러므로 필자의 친구가 원순열을 쉽게 못 푸는 학생들을 위해 조언을 좀 하고 싶다고 하여 적는다. 이 친구가 다른 것은 몰라도 확률과 통계만큼은 정말이지 타의 추종을 불허할 정도로 잘하니 좀 들어봐라. 일단 들어보면 후회는 없을 것이라 믿는다.

 다른 경우의 수 문제를 풀 때 역시 마찬가지지만 원순열 문제를 풀 때는 특히 더더욱 그렇다. 제발 문제를 풀 때 그림 좀 그려서 풀어라. 그림만 그려도 문제의 상황이 더 잘 이해가 되고, 어떻게 풀어 나갈지 길을 쉽게 파악할 수 있는데 도대체 왜 그림을 그리지 않는지 모르겠다. 시험칠 때 문제 풀 시간도 없는데 그림을 그릴 시간 어디있냐고 하는데 이는 그림을 쓸데없이 너무 잘 그릴려고 해서 그렇다. 그냥 적당히 대충 알아만 볼 수 있게 그린 다음, 적당한 녀석 하나를 자리에 앉혀 놓고, 문제에서 요구하는 바에 맞게 경우의 수를 구하면 시간도 더 단축되고 정확도 또한 올라간다. 이렇게 말해도 꼭 "아닌데? 시간 더 오래 걸리는데?"라는 대답이 들려온다. 심지어는 시도조차도 해보지 않고 그렇게 말한다. 이유를 물어보면 "딱 봐도 그렇지 않나?"라고 답한다. 제발 좀 해보고 말하자. 해보면 다르다는 것을 느낄 수 있다.

 필자 또한 인정하는 것이 원순열 문제를 그림을 그려서 푸는 방법은 정말 추천한다. 그냥 풀 때보다 문제를 이해하는데 훨씬 도움이 되며, 풀이 방법 또한 더 빨리 찾을 수 있다. 특히 겉멋만 들어서 "수학은 수식으로 풀어야지 왜 그림으로 풀어. 유치하게."라고 하는 사람들이 있는데 경우의 수 문제를 푸는데 왜 유치하고 유치하지 않고를 생각하는지 모르겠다. 문제를 푸는데 그것이 뭐가 중요하다고.. 특히 시도도 안 해보고 딱 봐도 그렇지 않냐고 얘기하면 정말 짜증난다. 제발 좀 해보고 말하자.

 

 

 

수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.

-토비아스 단치히

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