기하와 벡터(22)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 이전 글에서 벡터의 내적이 무엇인지, 내적 연산에 어떠한 성질이 있는지 알아보았다. 그러나 이것만으로는 벡터의 내적이 어떤 의미를 갖는지 잘 모르겠다. 본문에서는 벡터의 내적이 가지는 또다른 성질에 대하여 다룰 것이다.

벡터의 내적과 두 벡터 사이에 끼인 각의 관계

 벡터의 내적은 두 벡터^[각주:1] 사이에 끼인 각과 다음의 관계가 성립한다.

두 벡터 a, b에 대하여 두 벡터 사이에 끼인 각을 θ라고 할 때,

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{ \theta }$$

즉, 벡터의 내적의 결과는 벡터 a의 벡터 b로의 정사영^[각주:2]의 길이와 벡터 b의 길이의 곱이 된다. 다음의 그림을 보며 알아보자.

두 벡터 a, b 사이의 끼인 각.

 이 그림을 보면 알 수 있듯이 벡터 a의 벡터 b로의 정사영의 길이는 |a| cos θ, 즉 선분 OC의 길이가 된다. 이때 벡터 b의 길이는 (선분 OB의 길이)=|b|이므로 두 길이를 곱하면 |a| · |b| cos θ가 된다. 따라서 벡터의 내적 연산의 값이 나온다.

증명

 이 관계식은 코사인 법칙으로 증명할 수 있다. 다음은 관계식을 증명하는 과정이다. 증명 과정을 이해하는데 그림이 필요하다면 위의 그림을 참고하기 바란다.

 두 위치벡터 a,b에 대하여 벡터 a의 종점을 A, 벡터 b의 종점을 B, 두 벡터 a, b 사이에 끼인 각을 θ라고 하면

$$\overset{\longrightarrow}{AB} = \vec{b} -\vec{a} \text{이므로}$$

$$\overline{OA} = \left| \vec{a} \right|$$

$$\overline{OB} = \left| \vec{b} \right|$$

$$\overline{AB} = \left| \vec{b} -\vec{a} \right|$$

코사인 법칙에 의하여

$$\overline{OA}^{2} +\overline{OB}^{2} = \overline{AB}^{2} +2 \overline{OA} \cdot \overline{OB} \cos{\theta} \text{이므로}$$

$$\left| \vec{a} \right|^{2} +\left| \vec{b} \right|^{2} = \left| \vec{b} -\vec{a} \right|^{2} +2 \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{\theta} \text{이므로}$$

이때 모든 벡터 x에 대하여

$$\left| \vec{x} \right|^{2} = \vec{x} \cdot \vec{x} \text{가 성립하므로}$$

$$\vec{a} \cdot \vec{a} +\vec{b} \cdot \vec{b} = \left( \vec{b} -\vec{a} \right) \cdot \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +2 \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{\theta}$$

$$\vec{a} \cdot \vec{a} +\vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} -2 \vec{a} \cdot \vec{b} \vec{a} \cdot \vec{a} +2 \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{\theta}$$

$$2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{\theta}$$

$$\therefore \vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cos{\theta}$$

 두 벡터가 이루는 각의 크기를 알고 싶을 때, 이 관계식을 다음과 같이 바꿔 사용하기도 한다.

$$\cos{\theta} = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| }$$

 

 

 

먼저 두 벡터가 어떤 방법으로 곱의 형태로 표현될 수 있는지 조사한 후에, 정의를 내리고 간단한 기호를 만들어서 가장 단순하고 편리한 방법으로 어떤 성질을 표현하면 된다.

-헤비사이드

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1. 내적 연산에 사용된 두 벡터 [본문으로]
2. 정사영이란 어떤 면 등에 수직으로 빛을 쏘았을 때 생기는 그림자를 말한다. 정사영에 대해서는 다음에 다룰 것이다. [본문으로]