기하와 벡터(21)

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 벡터의 연산에 대해 알아보다 보면 '벡터 간 덧셈을 할 수 있는데, 벡터 간의 곱셈은 할 수 없을까?'하는 궁금증이 생길 수 있다. 물론 안 생길 수도 있고. 두 벡터를 곱하는 것 또한 가능하다. 물론 우리가 흔히 생각하는 곱하기와는 다르다. 그래서 이를 지칭하는 새로운 용어가 필요하며, 우리는 이를 '벡터의 내적'이라고 부른다.

벡터의 내적

 평면벡터^[각주:1]에서 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.

$$\overrightarrow{a}=\left(a_1\text{, }{a}_2\right)\text{, }\overrightarrow{b}=\left(b_1\text{, }{b}_2\right)\text{에 대하여}$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

 여기서 ·는 벡터의 내적 연산자이다. 벡터의 내적 연산을 수행하면 특이하게도 결과값이 벡터가 아닌 스칼라 값으로 나온다. 벡터간에 곱하는 연산은 내적 말고도 벡터의 외적이라는 연산이 있다. 다만 고등학교 수학 교과 중 외적에 관하여 전혀 다루지 않으므로 벡터의 외적은 이 시리즈에서 다루지 않을 것이다.

내적 연산의 성질

 벡터의 내적은 다음의 5가지 성질을 만족한다.

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$$
$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$$
$$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$$
$$\left(k\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \left(k\overrightarrow{b}\right)$$
$$\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{a}=0$$

 이 성질들이 덕분에 우리는 벡터를 사용하여 연산을 수행함에 있어 많은 제약이 사라진다. 아래는 5가지 성질을 증명하는 과정이다.

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$$

 이 성질은 벡터를 사용한 많은 정리를 증명함에 있어 매우 요긴하게 쓰인다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.

벡터 a에 대하여 a=(a_{1}, a_{2})라고 하면 벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=a_1^2+a_2^2$$

$$\text{이때, }\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\text{이므로}$$

$${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2=a_1^2+a_2^2$$

$$\therefore \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$$

 이 성질은 내적 연산에서 교환 법칙이 성립함을 의미한다. 교환 법칙이 성립한다는 것은 한 연산자에 대해 순서를 바꿀 수 있다는 의미가 되므로 연산에 있어 자유롭다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.

두 벡터 a, b에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2})라고 하면 벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=b_1{a}_1+b_2{a}_2=a_1{b}_1+a_2{b}_2$$

$$\therefore \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$$

$$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$$

 이 성질은 내적 연산에 대하여 분배 법칙이 성립함을 의미한다. 이를 통해 벡터의 연산 또한 마치 실수의 덧셈과 곱셈과 같이 작용함을 알 수 있다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.

세 벡터 a, b, c에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2}), c=(c_{1}, c_{2})라고 하면

$$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(b_1+c_1\text{, }{b}_2+c_2)$$

벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)$$

또한 벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{, }\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=a_1{c}_1+a_2{c}_2\text{이므로}$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_1{c}_1+a_2{c}_2=a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2)$$

$$\therefore \overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$$

$$\left(k\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot \left(k\overrightarrow{b}\right)$$

 이 성질은 스칼라 곱과 벡터의 내적 연산에 대하여 결합 법칙이 성립함을 의미한다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.

두 벡터 a, b에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2})라고 하면

$$k\overrightarrow{a}=\left(k{a}_1\text{, }k{a}_2\right)$$

벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\left(k\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=k{a}_1{b}_1+k{a}_2{b}_2$$

또한 벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{이므로}$$

$$k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=k{a}_1{b}_1+k{a}_2{b}_2$$

$$\therefore \left(k\overrightarrow{a}\right)\cdot \overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$$

 동일한 방법으로 vec{a} · (k vec{b})에 대해서도 증명할 수 있다. 이는 독자가 스스로 해볼 수 있도록 남겨두겠다.

$$\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{a}=0$$

 이 성질은 벡터의 내적에서 영벡터가 마치 실수의 곱셈 연산에서의 0처럼 작용함을 알 수 있다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.

벡터 a에 대하여 a=(a_{1}, a_{2})라고 하자.

$$\overrightarrow{0}=\left(0\text{, }0\right)\text{이므로}$$

벡터의 내적의 정의에 의하여

$$\overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{a}=0\cdot a_1+0\cdot a_2=0$$

$$\therefore \overrightarrow{0}\cdot \overrightarrow{a}=0$$

 

 

 

수는 세상의 형태와 에너지의 원천이다.

-스미르나의 테온

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1. 평면벡터란 좌표평면 위에 있는 벡터를 의미한다. [본문으로]