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벡터의 연산에 대해 알아보다 보면 '벡터 간 덧셈을 할 수 있는데, 벡터 간의 곱셈은 할 수 없을까?'하는 궁금증이 생길 수 있다. 물론 안 생길 수도 있고. 두 벡터를 곱하는 것 또한 가능하다. 물론 우리가 흔히 생각하는 곱하기와는 다르다. 그래서 이를 지칭하는 새로운 용어가 필요하며, 우리는 이를 '벡터의 내적'이라고 부른다.
벡터의 내적
→a=(a1, a2), →b=(b1, b2)에 대하여
→a⋅→b=a1b1+a2b2
여기서 ·는 벡터의 내적 연산자이다. 벡터의 내적 연산을 수행하면 특이하게도 결과값이 벡터가 아닌 스칼라 값으로 나온다. 벡터간에 곱하는 연산은 내적 말고도 벡터의 외적이라는 연산이 있다. 다만 고등학교 수학 교과 중 외적에 관하여 전혀 다루지 않으므로 벡터의 외적은 이 시리즈에서 다루지 않을 것이다.
내적 연산의 성질
벡터의 내적은 다음의 5가지 성질을 만족한다.
→a⋅→a=|→a|2
→a⋅→b=→b⋅→a
→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c
(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)=→a⋅(k→b)
→0⋅→a=0
이 성질들이 덕분에 우리는 벡터를 사용하여 연산을 수행함에 있어 많은 제약이 사라진다. 아래는 5가지 성질을 증명하는 과정이다.
→a⋅→a=|→a|2
이 성질은 벡터를 사용한 많은 정리를 증명함에 있어 매우 요긴하게 쓰인다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.
벡터 a에 대하여 a=(a_{1}, a_{2})라고 하면 벡터의 내적의 정의에 의하여
→a⋅→a=a21+a22
이때, |→a|=√a21+a22이므로
|→a|2=a21+a22
∴→a⋅→a=|→a|2
→a⋅→b=→b⋅→a
이 성질은 내적 연산에서 교환 법칙이 성립함을 의미한다. 교환 법칙이 성립한다는 것은 한 연산자에 대해 순서를 바꿀 수 있다는 의미가 되므로 연산에 있어 자유롭다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.
두 벡터 a, b에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2})라고 하면 벡터의 내적의 정의에 의하여
→a⋅→b=a1b1+a2b2
→b⋅→b=b1a1+b2a2=a1b1+a2b2
∴→a⋅→b=→b⋅→a
→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c
이 성질은 내적 연산에 대하여 분배 법칙이 성립함을 의미한다. 이를 통해 벡터의 연산 또한 마치 실수의 덧셈과 곱셈과 같이 작용함을 알 수 있다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.
세 벡터 a, b, c에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2}), c=(c_{1}, c_{2})라고 하면
→b+→c=(b1+c1, b2+c2)
벡터의 내적의 정의에 의하여
→a⋅(→b+→c)=a1(b1+c1)+a2(b2+c2)
또한 벡터의 내적의 정의에 의하여
→a⋅→b=a1b1+a2b2, →a⋅→c=a1c1+a2c2이므로
→a⋅→b+→a⋅→c=a1b1+a2b2+a1c1+a2c2=a1(b1+c1)+a2(b2+c2)
∴→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c
(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)=→a⋅(k→b)
이 성질은 스칼라 곱과 벡터의 내적 연산에 대하여 결합 법칙이 성립함을 의미한다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.
두 벡터 a, b에 대하여 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2})라고 하면
k→a=(ka1, ka2)
벡터의 내적의 정의에 의하여
(k→a)⋅→b=ka1b1+ka2b2
또한 벡터의 내적의 정의에 의하여
→a⋅→b=a1b1+a2b2이므로
k(→a⋅→b)=ka1b1+ka2b2
∴(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)
동일한 방법으로 vec{a} · (k vec{b})에 대해서도 증명할 수 있다. 이는 독자가 스스로 해볼 수 있도록 남겨두겠다.
→0⋅→a=0
이 성질은 벡터의 내적에서 영벡터가 마치 실수의 곱셈 연산에서의 0처럼 작용함을 알 수 있다. 아래는 정리를 증명하는 과정이다.
벡터 a에 대하여 a=(a_{1}, a_{2})라고 하자.
→0=(0, 0)이므로
벡터의 내적의 정의에 의하여
→0⋅→a=0⋅a1+0⋅a2=0
∴→0⋅→a=0
수는 세상의 형태와 에너지의 원천이다.
-스미르나의 테온
- 평면벡터란 좌표평면 위에 있는 벡터를 의미한다. [본문으로]
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