기하와 벡터(20)

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 벡터는 덧셈 연산을 할 수 있으며^[각주:1], 덧셈에 대하여 교환 법칙과 결합 법칙이 성립한다. 그러나 이전에 다룬 글을 보면 알겠지만 벡터가 단순히 기호로 표현되어 있을 경우 연산이 어렵다. 그러므로 연산을 더 편하게 할 수 있는 방법을 찾아야 했고, 이를 위치벡터의 성분을 이용하여 해결할 수 있었다.

위치벡터의 성분을 이용한 덧셈 연산

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) +\left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) = \left( a_{1} +b_{1} \text{, } a_{2}+b_{2} \right) $$

 위치벡터는 모두 시점이 일치하므로 덧셈 연산을 수행하는데 제약이 적다. 좌표평면 위의 원점 O와 두 점 A, B에 대하여 다음의 등식을 만족한다.

$$ \overset{\longrightarrow}{AB} = \overset{\longrightarrow}{OB} -\overset{\longrightarrow}{OA} $$

이때, 두 벡터 OA, OB는 원점을 시점으로 하므로 위치벡터라 할 수 있다. 두 점 A, B의 좌표를 각각 (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2})라고 하면 위의 등식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \overset{\longrightarrow}{AB} = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) -\left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) $$

 여전히 이 형태의 식으로는 연산을 알아보기 힘들다. 그러므로 벡터 AB를 위치벡터로 표현해보자. 위치벡터로 표현해주기 위해서는 벡터 AB를 평행이동하여 시점을 원점으로 하는 벡터로 만들어주면 된다. 먼저 점 C를 종점으로 하고 벡터 AB와 같은 위치벡터 OC를 잡아주자.

 위치벡터 OC는 벡터 AB를 평행이동하여 만든 벡터이므로 점 O 또한 점 A에 동일한 평행이동을 해줌으로써 만들어낸 점으로 이해할 수 있다. 이때 원점 O의 좌표는 (0, 0)이고, 점 A의 좌표는 (a_{1}, a_{2})이다. 그러므로 점 O는 점 A를 x축으로 -a_{1}만큼, y축으로 -a_{2}만큼 평행이동시킨 점으로 볼 수 있다. 마찬가지로 점 C 또한 점 B를 동일한 평행이동을 해줌으로써 만들어낸 점으로 이해할 수 있다. 이때 점 B의 좌표는 (b_{1}, b_{2})이므로 점 C의 좌표는 (b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2})임을 알 수 있다. 따라서 다음 등식이 성립한다.

$$ \left( b_{1} -a_{1} \text{, } b_{2} -a_{2} \right) = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) -\left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) $$

$$ \left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) -\left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) = \left( b_{1} -a_{1} \text{, } b_{2} -a_{2} \right) $$

 즉, 정리하면 다음과 같다.

두 위치벡터 (a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2})에 대하여

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) +\left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) = \left( a_{1} +b_{1} \text{, } a_{2} +b_{2} \right) $$

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) -\left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) = \left( a_{1} -b_{1} \text{, } a_{2} -b_{2} \right) $$

 이를 이용하면 상당히 편하게 벡터의 덧셈 연산을 수행할 수 있다.

기본단위벡터를 이용한 덧셈 연산

 벡터의 덧셈 연산은 기본단위벡터와 스칼라곱을 이용하여 연산을 편하게 할 수 있다. 두 위치벡터 a=(a_{1}, a_{2}), b=(b_{1}, b_{2})에 대하여 덧셈 연산을 수행해보자. 먼저 다음과 같은 위치벡터 e_{1}, e_{2}를 정의하자.

$$ \vec{ e_{1} } = (1 \text{, } 0) \text{, } \vec{ e_{2} } = (0 \text{, } 1) $$

 이 정의에 의하여 위치벡터 e_{1}, e_{2}는 기본단위벡터이다. 위치벡터 a를 기본단위벡터를 이용하여 나타내는 것부터 시작해보자.

$$ \vec{ a } = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) $$

 위의 정리에 의하여

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) = \left( a_{1} \text{, } 0 \right) +\left( 0 \text{, } a_{2} \right) $$

 여기서 보조정리 하나가 필요하다.

보조정리 1 - 벡터의 성분을 이용한 스칼라곱 연산

 벡터에 스칼라곱 연산을 하면 벡터의 크기는 실수의 크기에 비례하여 변하지만, 곱해주는 스칼라값이 양수일때 방향은 변하지 않으며, 음수일때 방향은 반대가 된다. 이러한 스칼라곱 연산을 위치벡터의 성분을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ k \cdot \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) = \left( k u_{1} \text{, } k u_{2} \right) \text{ } \cdots \text{ ①} $$

 이를 증명하기 위해 다음과 같은 위치벡터 u, v를 정의하자.

$$ \vec{ u } = \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) $$

$$ \vec{ v } = \left( k u_{1} \text{, } k u_{2} \right) $$

 먼저 벡터의 크기 변화에 대해 알아보자. 위치벡터 u의 크기는 다음과 같다.

$$ \left| \vec{ u } \right| = \sqrt{ u_{1}^{2} +u_{2}^{2} } $$

 위치벡터 v의 크기는 다음과 같다.

$$ \left| \vec{ v } \right| = \sqrt{ k^{2} u_{1}^{2} +k^{2} u_{2}^{2} } = \left| k \right| \sqrt{ u_{1}^{2} +u_{2}^{2} } $$

$$ \text{이때 } \left| k \right| \sqrt{ u_{1}^{2} +u_{2}^{2} } = \left| k \vec{ u } \right| \text{이므로} $$

$$ \left| \vec{ v } \right| = \left| k \vec{ u } \right| $$

 따라서 위치벡터 v의 크기는 위치벡터 u의 크기의 |k|배이다.

 위 증명에 의하여 ①과 같이 나타내어도 벡터의 크기 변화에 대해서는 문제가 없음을 알 수 있다. 이제 방향의 변화에 대하여 알아보자. 위치벡터 u를 포함하는 직선의 기울기 m은 다음과 같다.

$$ m = \frac{ u_{2} }{ u_{1} } $$

위치벡터 v를 포함하는 직선의 기울기는 다음과 같다.

$$ \frac{ k u_{2} }{ k u_{1} } = \frac{ u_{2} }{ u_{1} } = m $$

 따라서 위치벡터 v를 포함하는 직선의 기울기와 위치벡터 u를 포함하는 직선의 기울기는 같다. 자, 다음 그림을 보자.

 

 그림을 보면 k가 양수이면 위치벡터의 종점이 위치하는 사분면이 달라지지 않는다. 이와 반대로 k가 음수이면 위치벡터의 종점이 위치하는 사문면이 달라진다. 이때 종점은 원점에 대하여 대칭시킨 점이 위치하는 사분면에 위치한다. 따라서 ①과 같이 나타낼 경우 뱡향성 문제 또한 해결된다.

 자, 이제 다시 본문으로 넘어가보자. 보조정리 1에 의하여

$$ \left( a_{1} \text{, } 0 \right) = a_{1} \cdot \left( 1 \text{, } 0 \right) = a_{1} \vec{e_{1}} $$

 마찬가지로 보조정리 1에 의하여

$$ \left( 0 \text{, } a_{2} \right) = a_{2} \cdot \left( 0 \text{, } 1 \right) = a_{2} \vec{e_{2}} $$

$$ \text{따라서 } \left( a_{1} \text{, } 0 \right) +\left( 0 \text{, } a_{2} \right) = a_{1} \vec{e_{1}} +a_{2} \vec{e_{2}} \text{이므로} $$

$$ \vec{a} = a_{1} \vec{e_{1}} +a_{2} \vec{e_{2}} $$

 동일한 방법으로 위치벡터 b를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \vec{b} = b_{1} \vec{e_{1}} +b_{2} \vec{e_{2}} $$

$$ \therefore \vec{a} +\vec{b} = a_{1} \vec{e_{1}} +a_{2} \vec{e_{2}} +b_{1} \vec{e_{1}} +b_{2} \vec{e_{2}} = \left( a_{1} +b_{1} \right) \vec{e_{1}} +\left( a_{2} +b_{2} \right) \vec{e_{2}} $$

 즉, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) = a_{1} \vec{e_{1}} +a_{2} \vec{e_{2}} $$

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) +\left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) = \left( a_{1} +b_{1} \right) \vec{e_{1}} +\left( a_{2} +b_{2} \right) \vec{e_{2}} $$

$$ \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) -\left( b_{1} \text{, } b_{2} \right) = \left( a_{1} -b_{1} \right) \vec{e_{1}} +\left( a_{2} -b_{2} \right) \vec{e_{2}} $$

 

 

 

신들은 벽 뒤에서 논다. 우주를 이루고 있는 숫자를 가지고서

-르 코르뷔지에

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1. 덧셈 연산에 대하여 닫혀있으며 [본문으로]