확률과 통계(2)

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 경우의 수를 구한다고 하면 역시 단순한 '노가다'로 구하는 방법이 가장 기본적인 방법이다. 그러나 모든 문제를 이와 같은 방법으로 구하는 것은 우리의 암산 속도나 손으로 필기하는 속도가 충분히 빠르지 않으므로 비효율적이다. 그러므로 우리는 다른 방법을 사용할 것이다. 그 중 하나가 바로 본문에서 다룰 '순열'이다.

순열

 순열은 일렬로 나열하는 경우를 말한다. 순열의 종류 그 형태에 따라 원순열, 같은 것이 있는 순열, 중복순열 등이 있다. 본문에서는 순열의 가장 기본적인 형태인 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 나열하는 경우의 수를 구하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 나열하는 경우의 수는 다음과 같이 나타낸다.

$$ {}_{n} \mathrm{P}_{r} \text{, } \mathrm{P} \left( n \text{, } r \right) $$

 고등학교에서는 주로 위의 둘 중 전자의 표현을 사용한다.

서로 다른 n개에서 n개를 택하여 나열하는 경우

서로 다른 n개에서 n개를 택하여 나열하는 경우의 수를 구하는 방법은 간단하다. 하나씩 자리를 정해주면 된다.

 위처럼 적당히 n개를 나열할 자리를 정해준다.

 그 다음 적당히 하나의 자리를 정하여 준다. 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 n이 된다. 이 자리를 정하는 방법은 문제의 유형에 따라 달라지지만 대부분의 경우 아무 자리나 잡아주어도 문제가 없다.

 처음에 고른 자리를 제외하고 다른 자리를 하나 골라준다. 앞서 고른 자리에 하나를 배치하였으므로 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 (n-1)개가 된다.

 마찬가지로 앞서 고른 두 자리를 제외하고 다른 자리를 하나 골라준다. 앞서 고른 자리에 각각 하나씩 배치하였으므로 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 (n-2)개가 된다. 이후에도 동일하게 반복해나가면 배치해 줄 수 있는 경우의 수가 하나씩 줄어들며 1이 될 때까지 반복할 수 있다. 이를 전부 곱해주면 구하고자 하는 경우의 수가 나오게 된다.

$$ n \times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \cdots \times 2 \times 1 $$

 이를 팩토리얼을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ n \times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \cdots \times 2 \times 1 = n! $$

서로 다른 n개에서 r개를 택하는 경우

자, 이제 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 나열하는 경우로 확장해 보자. 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 나열하는 경우의 수를 구하는 방법 또한 위의 경우와 마찬가지로 하나씩 자리를 정해주면 된다.

 적당히 r개를 나열할 자리를 정해준다.

 그 다음 적당히 하나의 자리를 정하여 준다. 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 n이 된다. 마찬가지로 이 자리를 정하는 방법은 문제의 유형에 따라 달라지지만 대부분의 경우 아무 자리나 잡아주어도 문제가 없다.

 처음에 고른 자리를 제외하고 다른 자리를 하나 골라준다. 앞서 고른 자리에 하나를 배치하였으므로 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 (n-1)개가 된다.

 마찬가지로 앞서 고른 두 자리를 제외하고 다른 자리를 하나 골라준다. 앞서 고른 자리에 각각 하나씩 배치하였으므로 이 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 (n-2)개가 된다. 이후에도 동일하게 반복해나가면 배치해 줄 수 있는 경우의 수가 하나씩 줄어들며 (n-r+1)이 될 때까지 반복할 수 있다. 이를 전부 곱해주면 구하고자 하는 경우의 수가 나오게 된다.

$$ n \times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \cdots \times \left( n-r+2 \right) \times \left( n-r+1 \right) $$

 이를 팩토리얼을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ n \times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \cdots \times \left( n-r+2 \right) \times \left( n-r+1 \right) = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! } $$

 따라서 두 자연수 n, r에 대하여 P(n, r)은 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathrm{P} \left( n \text{, } r \right) = n \times \left( n-1 \right) \times \left( n-2 \right) \times \cdots \times \left( n-r+2 \right) \times \left( n-r+1 \right) = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! } $$

 다른 유형의 순열 또한 기본적인 방법은 위의 방법과 동일하다. 모든 유형을 외우면 문제될 것이 없으나 대부분은 그러지 못한다. 필자 역시 외워야 할 것이 비율적으로 적다는 점에서 수학을 계속 공부할 수 있었다. 그렇기에 모든 유형을 외우려고 하는 사람들에게 왜 굳이 그런 것에 시간낭비를 하느냐고 한다. 문제를 풀 때는 풀이 방법만 제대로 이해하면 적당히 달라져서 나온 유사한 유형 또한 방법을 응용하여 풀 수 있기 마련이다.

 

 

 

수학은 인간에게 뭔가 새로운 감각을 하나 더 갖게 한다.

-다윈

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