기하와 벡터(26)

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 지금까지 벡터에 대해 배우면서 새로운 용어가 많이 나온다는 것을 눈치챘을 것이다. 그건 어쩔 수 없다. 벡터라는 개념은 지금까지 배워온 수학 개념과 다른 완전히 새로운 개념이기 때문에. 이번 본문에서도 또 다른 새로운 용어를 알아볼 것이다.

법선벡터

 법선벡터란 곡선 또는 곡면에 대하여 수직인 벡터를 말한다. 자, 곡선 또는 곡면에서 수직인 벡터를 어떻게 구할 수 있을까? 간단하다. 곡선인 경우에는 그 곡선에 대한 접선을 구하고 그 접선에 대하여 수직인 벡터를 구하면 되며, 곡면인 경우에는 그 곡면에 대한 접평면을 구하고 그 접평면에 대하여 수직은 벡터를 구하면 된다.

지오지브라를 이용해 그린 두 법선벡터. 좌측은 직선에 대한 법선벡터이며, 우측은 평면에 대한 법선벡터이다.

법선벡터의 성질

법선벡터는 다음의 성질을 가진다.

직선 m에 대한 방향벡터 p와 법선벡터 n에 대하여

$$\vec{p} \cdot \vec{n} = 0$$

증명

직선 m에 대한 방향벡터 p와 법선 벡터 n에 대하여 두 벡터 사이에 끼인 각을 θ라고 하면 다음 등식이 성립한다.

$$\vec{p} \cdot \vec{n} = \left| \vec{p} \right| \cdot \left| \vec{n} \right| \cos{\theta}$$

이때 법선벡터의 정의에 의하여 θ=π/2이므로 cos θ=0

$$\therefore \vec{p} \cdot \vec{n} = 0$$

 이 성질은 다음과 같이 일반화할 수 있다.

임의의 벡터 a, b에 대하여

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

 

 

 

직관 없는 기하학자는 문법은 잘 알지만 아이디어가 없는 작가와 같다.

-푸앵카레

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