확률과 통계(5)

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 이전 글에서 다룬 순열^[각주:1]은 중복되는 원소의 개수가 정해져 있었다. 그러므로 우리는 이들의 경우의 수를 계산하는데 팩토리얼을 제외한 다른 방법을 사용하지 않았다. 자, 이제 본문에서 다룰 수열에 대해 알아보자. 본문에서는 각 원소들에 대해 중복을 허용하여 택한 후 일렬로 나열하는 순열, 즉 중복순열에 대해 알아볼 것이다.

중복순열

 앞서 얘기했듯 중복순열이란 각 원소들에 대해 중복을 허용하여 택한 후 일렬로 나열하는 것이다. 이해를 하기 위해 얘시를 들어보자.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

 위 7가지 숫자 중 5개를 중복을 허용하여 택하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수를 구해보자.

중복을 허용하여 택하므로 각자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 모두 7이다.

따라서 구하는 경우의 수는

$$ 7 \times 7\times 7 \times 7 \times 7 = 7^{4} $$

 자, 이제 이를 일반화해보자. n가지 원소 중 중복을 허용하여 r개를 택한 후 일렬로 나열하는 경우의 수를 구해보자. 위에서와 마찬가지로 중복을 허용하여 택하므로 각 자리에 들어갈 수 있는 경우의 수는 n이다.

따라서 구하는 경우의 수는

$$ n \times n \times n \times \cdots \times n = n^{r} $$

 

 

 

수학에서 좋은 문제의 특징은, 문제 자체가 일반화될 수 있거나 다양한 상황으로 확장이 가능하고, 문제가 다양한 풀이를 가지며, 문제의 풀이가 다양한 수학적 개념의 이해나 수학적 능력의 활용을 포함해야 한다.

-크루릭, 지브 루드닉

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1. 같은 것이 있는 순열 [본문으로]