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이전에 삼각함수에 대해 다룬 글 중 <삼각함수(3)>1을 보면 삼각비의 정의에 대해 설명하고 있다. 삼각함수는 이 삼각비의 정의에 따라 삼각비를 독립변수와 종속변수라는 두 변수를 이용하여 함수화하여 표현한 것이다. 이에 따라 당연하게도 앞서 다루었던 삼각비의 성질은 삼각함수에서 성립하며, 삼각함수에서 나타나는 성질 역시 삼각비에서 성립한다. 본문에서는 삼각함수의 성질 중 주기성에 대해여 알아볼 것이다.
삼각함수의 성질 - 주기성
삼각함수를 정의하기 위해서 삼각비를 이용했고, 삼각비를 정의하기 위해 원을 이용했다. 자, 다시 한번 원을 그리고 동경을 x축, y축, 원점 등에 대칭시켜 여러 각을 만들어 보자.
위 그림의 각들은 특별하다. 바로 π/2, π, 3π/2 등으로 관계를 맺어줄 수 있기 때문이다. 자, 지금부터 이 각들의 삼각비들이 가지는 성질에 대해 알아보자. 직접 그리면서 설명을 보면 더 이해를 잘할 수 있을 것이다.
0, π, 2π
위 그림에서 표시된 각의 크기는 모두 α이지만 시초선을 선분 OA로 할 경우, 그림에 써져있는 각의 동경이 위 그림과 같이 위치하게 된다. π-α의 경우, y값, 즉 sin 값은 변하지 않는다. 그러나 x값, 즉 cos 값의 경우, 절댓값은 변하지 않지만 부호가 변한다. tan 값의 경우, sin 값과 cos 값에 의존하므로 마찬가지로 절댓값은 변하지 않으나 부호가 변한다.
$$ \sin{ \left( \pi-\alpha \right) } = \sin{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \pi-\alpha \right) } = -\cos{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \pi-\alpha \right) } = -\tan{ \alpha } $$
π+α의 경우, x, y의 값 모두 절댓값은 변하지 않지만 부호가 변한다. 그러므로 sin 값과 cos 값 모두 절댓값은 변하지 않고 부호가 변하며, tan 값은 변하지 않는다.
$$ \sin{ \left( \pi+\alpha \right) } = -\sin{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \pi+\alpha \right) } = -\cos{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \pi+\alpha \right) } = \tan{ \alpha } $$
-α의 경우, x값은 변하지 않지만, y값의 절댓값은 변하지 않지만 부호가 변한다. 그러므로 cos 값은 변하지 않고, sin 값과 tan 값 모두 절댓값은 변하지 않지만 부호가 변한다. 2π를 기준으로 ±α를 해준 각은 <삼각함수(2)>에서 다루었듯이 결국 ±α로 표현되는 각과 같다.
$$ \sin{ \left( -\alpha \right) } = -\sin{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( -\alpha \right) } = \cos{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( -\alpha \right) } = -\tan{ \alpha } $$
$$ \sin{ \left( 2 \pi+\alpha \right) } = \sin{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( 2 \pi+\alpha \right) } = \cos{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( 2 \pi+\alpha \right) } = \tan{ \alpha } $$
$$ \sin{ \left( 2 \pi-\alpha \right) } = -\sin{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( 2 \pi-\alpha \right) } = \cos{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( 2 \pi-\alpha \right) } = -\tan{ \alpha } $$
여기서 1가지 사실을 알 수 있다. cos x는 우함수이고, sin x와 tan x는 기함수라는 것을. 평소에 사용하는 성질은 주로 이 3가지 특수각을 이용하는 것이 많을 것이다. 아래에 다룰 π/2와 3π/2의 경우는 이 3가지 경우보다는 적게 썼던 것 같다.
π/2, 3π/2
앞에서와 마찬가지로 위 그림에서 표시된 각의 크기는 모두 α이지만 시초선을 선분 OA로 할 경우, 그림에 써져있는 각의 동경이 위 그림과 같이 위치하게 된다. π/2-α의 경우, 두 동경이 직선 y=x에 대하여 대칭되므로 x, y의 값은 서로 바뀐다. 다시 말해 x=a, y=b였을 경우, x=b, y=a로 바뀐다는 뜻이다. 이로 인해 sin 값은 본래의 cos 값으로, cos 값은 본래의 sin 값으로 변하게 되며, tan 값은 본래의 tan 값의 역수, 즉 cot 값을 가지게 된다.
$$ \sin{ \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) } = \cos{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) } = \sin{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) } = \cot{ \alpha } $$
π/2+α의 경우는 π-(π/2-α)의 경우와 같다. 그러므로 다음이 성립한다.
$$ \sin{ \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } = \cos{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } = -\sin{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) } = -\cot{ \alpha } $$
3π/2-α의 경우는 π+(π/2-α)의 경우와 같다. 그러므로 다음이 성립한다.
$$ \sin{ \left( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right) } = -\cos{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right) } = -\sin{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \frac{3\pi}{2}-\alpha \right) } = \cot{ \alpha } $$
3π/2+α의 경우는 π+(π/2+α)의 경우와 같다. 그러므로 다음이 성립한다.
$$ \sin{ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right) } = -\cos{ \alpha } \text{, } \cos{ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right) } = \sin{ \alpha } \text{, } \tan{ \left( \frac{3\pi}{2}+\alpha \right) } = -\cot{ \alpha } $$
정리
위의 내용은 이해를 돕기 위해 각의 크기가 0 초과 π/2 미만의 범위에서 다루었다. 이 성질을 외울 때도 동일하게 적용하면 편하게 외울 수 있다. 주어지는 각의 크기에 관계없이 항상 동경이 제1사분면에 있다 가정하면, π-θ 등의 연산을 수행했을 때, 동경의 위치에 따라 부호가 달라지거나 변하지 않는다. 부호가 달라지는 경우에는 (-1)을 곱해주면 되며, 달라지지 않는 경우에는 그대로 두면 된다. 또한 분모에 2가 들어있는 경우에는 sin은 cos으로, cos은 sin으로, tan는 cot로 바꿔주면 된다. 물론 분모에 2가 없는 경우, 즉, 분모가 1인 경우에는 sin은 sin으로, cos은 cos으로, tan는 tan로 그대로 놓고 부호만 결정해주면 된다. 이것도 헷갈리는 경우 역시 동경이 제1 사분면에 있다고 가정하고, 그냥 그림을 그려서 풀면 된다. 시간이 그리 오래 걸리지는 않으니 헷갈리면 그리자. 아래의 표는 위의 내용을 정리한 표이다.
| 합 | $$ 0 $$ | $$ \frac{\pi}{2} $$ | $$ \pi $$ | $$ \frac{3 \pi}{2} $$ | $$ 2 \pi $$ | |
| $$ \sin $$ | $$ \theta $$ | $$ \sin{ \theta } $$ | $$ \sin{ \left( \frac{\pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( \pi +\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( \frac{3 \pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left(2 \pi +\theta \right) } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ \sin{ \left( -\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( \pi -\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( \frac{3 \pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \sin{ \left( 2 \pi -\theta \right) } $$ | |
| $$ \cos $$ | $$ \theta $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | $$ \cos{ \left( \frac{\pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( \pi +\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( \frac{3 \pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( 2 \pi +\theta \right) } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ \cos{ \left( -\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( \pi -\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( \frac{3 \pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \cos{ \left( 2 \pi -\theta \right) } $$ | |
| $$ \tan $$ | $$ \theta $$ | $$ \tan{ \theta } $$ | $$ \tan{ \left( \frac{\pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( \pi +\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( \frac{3 \pi}{2} +\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( 2 \pi +\theta \right) } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ \tan{ \left( -\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( \frac{\pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( \pi -\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( \frac{3 \pi}{2} -\theta \right) } $$ | $$ \tan{ \left( 2 \pi -\theta \right) } $$ |
$$ \downdownarrows \downdownarrows $$
| 합 | $$ 0 $$ | $$ \frac{\pi}{2} $$ | $$ \pi $$ | $$ \frac{3 \pi}{2} $$ | $$ 2 \pi $$ | |
| $$ \sin $$ | $$ \theta $$ | $$ \sin{ \theta } $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | $$ -\cos{ \theta } $$ | $$ \sin{ \theta } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | $$ \sin{ \theta } $$ | $$ -\cos{ \theta } $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | |
| $$ \cos $$ | $$ \theta $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | $$ -\cos{ \theta } $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | $$ \cos{ \theta } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | $$ \sin{ \theta } $$ | $$ -\cos{ \theta } $$ | $$ -\sin{ \theta } $$ | $$ \cos{ \theta } $$ | |
| $$ \tan $$ | $$ \theta $$ | $$ \tan{ \theta } $$ | $$ -\cot{ \theta } $$ | $$ \tan{ \theta } $$ | $$ -\cot{ \theta } $$ | $$ \tan{ \theta } $$ |
| $$ -\theta $$ | $$ -\tan{ \theta } $$ | $$ \cot{ \theta } $$ | $$ -\tan{ \theta } $$ | $$ \cot{ \theta } $$ | $$ -\tan{ \theta } $$ |
수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.
-토비아스 단치히
