확률과 통계(8)

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 이전 글에서 조합의 정의에 대하여 알아보았다. 본문에서는 이 조합의 정의에 의하여 파생되는 조합의 두 가지 성질에 대하여 알아볼 것이다.

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $$
$$ {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{r}+{}_{n}\mathrm{C}_{r+1} $$

 이 두 성질은 조합을 사용하는 연산에서 매우 중요하게 사용된다. 꼭 알아두길 바란다.

$$ \text{①: } {}_{n}\mathrm{C}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $$

 아래는 이 성질을 증명하는 과정이다.

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! \times r! } = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! \times \left\{ n-\left( n-r \right) \right\}! } = {}_{n}\mathrm{C}_{n-r} $$

 이 성질에 의하여 조합의 값은 대칭을 이룸을 알 수 있다.

예시

$$ {}_{5}\mathrm{C}_{0} \text{, } {}_{5}\mathrm{C}_{1} \text{, } {}_{5}\mathrm{C}_{2} \text{, } {}_{5}\mathrm{C}_{3} \text{, } {}_{5}\mathrm{C}_{4} \text{, } {}_{5}\mathrm{C}_{5} $$

$$ 1 \text{, } 5 \text{, } 10 \text{, } 10 \text{, } 5 \text{, } 1 $$

$$ \text{②: } {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n}\mathrm{C}_{r}+{}_{n}\mathrm{C}_{r+1} $$

 아래는 이 성질을 증명하는 과정이다.

$$ \begin{matrix} {}_{n}\mathrm{C}_{r}+{}_{n}\mathrm{C}_{r+1} &=& \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! \times r! } +\frac{ n! }{ \left( n-r-1 \right)! \times \left( r+1 \right)! } \\ &=& \frac{ n! }{ \left( n-r-1 \right)! \times r! } \times \left( \frac{ 1 }{ n-r } +\frac{ 1 }{ r+1 } \right) \\ &=& \frac{ n! }{ \left( n-r-1 \right)! \times r! } \times \frac{ r+1+n-r }{ \left( n-r \right) \left( r+1 \right) } \\ &=& \frac{ n! }{ \left( n-r-1 \right)! \times r! } \times \frac{ n-r }{ \left( n+1 \right) \left( r+1 \right) } \\ &=& \frac{ \left( n+1 \right)! }{ \left( n-r \right)! \times \left( r+1 \right)! } \\ &=& \frac{ \left( n+1 \right)! }{ \left\{ \left( n+1 \right) -\left( r+1 \right) \right\}! \times \left( r+1 \right)! } = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1} \end{matrix} $$

 이 성질은 나중에 파스칼의 삼각형을 다루며 다시 나올 것이다.

 

 

 

수학적 발견의 원동력은 논리적인 추론이 아니고 상상력이다.

-드모르간

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