※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.
앞서 순열에 대해 알아보았다. 순열은 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 택하여 일렬로 나열하는 것으로, 순서를 가진다. 그렇다면 당연하게 순서를 가지지 않고 원소를 택하는 경우의 수에 대해서도 생각해 볼 수 있을 것이다. 그것이 바로 조합이다 본문에서는 조합에 대하여 알아볼 것이다.
조합
조합이란 서로 다른 원소들 중에서 순서에 상관없이 원소를 택하는 것을 말한다. 서로 다른 n개의 원소에서 순서에 상관없이 r개를 택하는 조합의 수를 다음과 같이 표현한다.
$$ { {n} \choose {r} } \text{, } {}_{n}\mathrm{C}_{r} \text{, } \mathrm{C}(n \text{, } r) $$
자, 이제 이를 우리가 알고 있는 연산으로 바꿔보자. 먼저 서로 다른 n개에서 r개를 택하여 나열하는 순열의 수는 아래와 같다.
$$ {}_{n}\mathrm{P}_{r} = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! } $$
조합은 순열과 달리 순서를 생각하지 않으므로 겹치는 부분을 제하기 위해 r!으로 나누어줘야 한다.
$$ \frac{ {}_{n}\mathrm{P}_{r} }{ r! } = \frac{ n! }{ \left( n-r \right)! \times r! } $$
자, 이제 이 계산식은 조합의 수를 구하는 공식, 또는 함수라고 할 수 있다. 이는 순열과 조합이 관계가 있음을 알려준다.
$$ {}_{n}\mathrm{P}_{r} = {}_{n}\mathrm{C}_{r} \times r! $$
모든 수학은 동어반복이다.
-비트겐슈타인
