확률과 통계(9)

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 다항식의 거듭제곱의 전개식은 조합과 관련이 있다. 본문에서는 두 항의 합의 거듭제곱의 전개식의 각 항의 차수를 조합을 이용해 알려주는 정리인 이항정리에 대하여 알아볼 것이다.

이항정리

 이항정리는 두 항으로 되어있는 다항식의 거듭제곱식의 전개식에서 각 항의 계수를 일반화해주는 정리이다. 먼저 x+y의 거듭제곱의 전개식을 살펴보자.

$$ \left( x+y \right)^{1} = x+y $$

$$ \left( x+y \right)^{2} = x^{2} +2xy +y^{2} $$

$$ \left( x+y \right)^{3} = x^{3} +3x^{2}y +3xy^{1} +y^{3} $$

$$ \left( x+y \right)^{4} = x^{4} +4x^{3}y +6x^{2}y^{2} +4xy^{3} +y^{4} $$

$$ \left( x+y \right)^{5} = x^{5} +5x^{4}y +10x^{3}y^{2} +10x^{2}y^{3} +5xy^{4} +y^{5} $$

 전개식에서 뭔가 규칙이 보이는가? 자, 지금부터 n제곱 식의 전개식을 일반화 해보겠다.

$$ \left( x+y \right)^{n} = \underbrace{ \left( x+y \right) \times \left( x+y \right) \times \left( x+y \right) \times \cdots \times \left( x+y \right) }_{n} $$

 x의 차수가 r인 항의 계수를 구해보자. 일단 n제곱식에서 항의 x와 y의 차수를 더한 값은 모든 항에서 n으로 같다. 그러므로 (x+y)^{n}의 전개식의 x의 차수가 r인 항은 다음과 같이 서술할 수 있다.

$$ \Box x^{r}y^{n-r} $$

 x^{r}y^{n-r}의 동류항의 개수가 곧 이 항의 계수가 되므로 동류항의 계수를 구해보자. 두 다항식이 곱해진 식을 전개할 때는 분배법칙을 이용한다. 즉, 분배법칙에 의하여 이 식 또한 전개를 위해 위의 거듭제곱을 곱하기로 나열해 놓은 식의 각 항 별로 x 또는 y를 하나씩 택하여 총 n개를 뽑아 곱해 하나의 항을 구한다. 그러므로 곱해줄 x와 y를 뽑는 개수만 동일하면 그 항들은 모두 동류항이 된다. 이때 뽑을 x의 개수가 정해지면 곱해줄 수 있는 y의 개수는 항상 정해지므로, 계수를 구하기 위해 우리는 x의 차수만을 고려해도 문제가 없다. x의 차수가 r인 항의 계수를 구하는 것은 서로 다른 n개의 항에서 r개의 x를 뽑는 경우의 수와 동일하므로, x의 차수가 r인 항은 다음과 같다.

$$ {}_{n}\mathrm{C}_{r} x^{r}y^{n-r} $$

 여기서 계산의 편의를 위해 x^{0}, y^{0}의 값은 1로 정의한다. 이러한 계수를 기하학적 모델로 만들어 놓은 것이 있다. 바로 파스칼의 삼각형이다.

파스칼의 삼각형

 아래의 수들의 나열이 바로 파스칼의 삼각형이다.

$$ \begin{matrix} 1\\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \vdots \end{matrix} $$

 파스칼의 삼각형이란 이항계수를 삼각형 모양으로 배열해 놓은 것을 말한다. 파스칼의 삼각형을 보면 조합의 두 성질을 명확히 볼 수 있다. 조합의 성질을 이해하는데 좀 더 도움이 될 수 있도록 파스칼의 삼각형의 수들을 아래와 같이 나타내 보자.

$$ \begin{matrix} 1 \\ {}_{1}\mathrm{C}_{0} \quad {}_{1}\mathrm{C}_{1} \\ {}_{2}\mathrm{C}_{0} \quad {}_{2}\mathrm{C}_{1} \quad {}_{2}\mathrm{C}_{2} \\ {}_{3}\mathrm{C}_{0} \quad {}_{3}\mathrm{C}_{1} \quad {}_{3}\mathrm{C}_{2} \quad {}_{3}\mathrm{C}_{3} \\ {}_{4}\mathrm{C}_{0} \quad {}_{4}\mathrm{C}_{1} \quad {}_{4}\mathrm{C}_{2} \quad {}_{4}\mathrm{C}_{3} \quad {}_{4}\mathrm{C}_{4} \\ \vdots \end{matrix} $$

 이를 보면 C(n, r)=C(n, n-r)이 성립함을 알 수 있다. 또한 C(n, r)+C(n, r+1)=C(n+1, r+1)임을 알 수 있다.

 위 그림을 보면 알 수 있듯이 같은 줄에 연속되어 있는 수의 합은 그 아랫줄의 수와 같다. 즉, C(n, r)+C(n, r+1)=C(n+1, r+1)가 성립함을 알 수 있다. 자, 이 성질이 성립함으로 인해 따름정리로 한 가지 성질이 도출된다.

 파스칼의 삼각형에서 대각선으로 이어진 수를 더하면 항상 아랫줄에서 대각선을 꺾었을 때 그 더한 값이 나오게 된다. 이 모양이 마치 하키스틱의 모양 같다고 하여 혹자는 이를 하키스틱 정리라고 부른다. 이를 합 기호인 시그마를 이용하여 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$ \sum_{k=r}^{n}{ {}_{k}\mathrm{C}_{r} } = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1} \text{ } \left( n \ge r \text{, } r \text{은 음이 아닌 정수} \right) $$

$$ \sum_{k=0}^{n}{ {}_{k+a}\mathrm{C}_{k} } = {}_{n+a+1}\mathrm{C}_{n} \text{ } \left( n \text{, } a \text{는 음이 아닌 정수} \right) $$

 여기서 C(0, 0)의 값은 계산의 편의를 위해 1로 정의한다. 이 따름정리의 증명은 넘어가도록 하겠다. 이를 증명해보려하는 독자들을 위해 한 가지 팁을 주자면 더하는 식 중에 C(0, 0)이 있을 경우, 이를 전자의 경우 C(1, 0)으로, 후자의 경우를 C(a, 0)으로 대체하여 C(n, r)+C(n, r+1)=C(n+1, r+1)를 적용하면 된다.

 

 

 

수학은 인간 정신의 자유로운 창조물이다.

-데데킨트

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