확률과 통계(10)

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 이전 글에서 이항계수에 대하여 알아보았다. 이항계수는 이항 거듭제곱식의 전개항의 계수를 의미하는데, 이로 인해 몇 가지 성질을 갖게 된다. 본문에서는 이항계수의 성질에 대하여 알아볼 것이다.

이항계수의 성질

 먼저 (x+1)^{n}의 전개식을 생각해보자.

$$ \left( x+1 \right)^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} x +{}_{n}\mathrm{C}_{2} x^{2} +{}_{n}\mathrm{C}_{3} x^{3} +\cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} x^{n-1} +{}_{n}\mathrm{C}_{n} x^{n} $$

 등식의 양변에 x=1을 대입하면

$$ 2^{n} = {}_{n}\mathrm{C}_{0} +{}_{n}\mathrm{C}_{1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} +{}_{n}\mathrm{C}_{3} +\cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} +{}_{n}\mathrm{C}_{n} $$

 또한 등식의 양변에 x=-1을 대입하면

$$ 0 = {}_{n}\mathrm{C}_{0} -{}_{n}\mathrm{C}_{1} +{}_{n}\mathrm{C}_{2} -{}_{n}\mathrm{C}_{3} +\cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} -{}_{n}\mathrm{C}_{n} $$

 이므로 n=2k로 두면

$$ {}_{2k}\mathrm{C}_{0} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2} +{}_{2k}\mathrm{C}_{4} +\cdots +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-2} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k} = {}_{2k}\mathrm{C}_{1} +{}_{2k}\mathrm{C}_{3} +{}_{2k}\mathrm{C}_{5} +\cdots +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-3} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-1} $$

 따라서 아래의 등식이 성립한다.

$$ {}_{2k}\mathrm{C}_{0} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2} +{}_{2k}\mathrm{C}_{4} +\cdots +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-2} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k} = {}_{2k}\mathrm{C}_{1} +{}_{2k}\mathrm{C}_{3} +{}_{2k}\mathrm{C}_{5} +\cdots +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-3} +{}_{2k}\mathrm{C}_{2k-1} = 2^{2k-1} $$

 즉, 이항계수의 합은 밑이 2인 지수함수로 표현이 가능하다. 또한 밑이 2인 지수함수는 이항계수로 표현 가능하다는 뜻으로 해석할 수도 있다. 관련이 없어 보이는 두 개념이 관계가 있다는 것이 흥미롭지 아니한가.

 

 

 

만약 어떤 사람의 재치가 종잡을 수 없다면, 그에게 수학을 가르쳐라.

-프랜시스 베이컨

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