삼각함수(6)

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 삼각함수의 성질 중 가장 특이한 것을 고르라고 하면 아마 주기성을 고를 것이다. 삼각함수는 각에 의하여 함수값이 결정되므로 주기를 가지게 된다. 이러한 특징을 가지는 삼각함수의 그래프 계형과 주기에 대하여 알아보자.

sin 함수

sin 함수

 sin 함수를 구하기 앞서 먼저 단위원을 생각해보자. 단위원에서 sin θ=y이므로 sin 함수는 단위원의 y좌표를 함숫값으로 가진다. 동경을 동일한 방향으로 계속 회전시키면 일정한 회전수를 주기로 하여 동일한 y값이 반복된다. 모든 θ에 대하여 동일한 함숫값이 반복되도록 하는 최소한의 동경의 회전수는 1이므로 sin 함수의 주기는 2π이다. 자, 이제 sin 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기를 구해보자.

$$ y = \sin{ \left( ax+b \right) } $$

먼저 sin 함수의 주기는 2π이므로

$$ \sin{ \left( ax+b \right) } = \sin{ \left( ax+b +2 \pi \right) } = \sin{ \left\{ a\left( x+\frac{2\pi}{a} \right)+b \right\} } $$

따라서 sin 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기는 (2π/a)이다.

 그래프의 계형을 보면 알 수 있듯이 sin 함수는 기함수이다.

cos 함수

cos 함수

 cos 함수를 구하기 앞서 먼저 단위원을 생각해보자. 단위원에서 cos θ=x이므로 cos 함수는 단위원의 x좌표를 함숫값으로 가진다. 동경을 동일한 방향으로 계속 회전시키면 일정한 회전수를 주기로 하여 동일한 x값이 반복된다. 모든 θ에 대하여 동일한 함숫값이 반복되도록 하는 최소한의 동경의 회전수는 1이므로 cos 함수의 주기는 2π이다. 자, 이제 cos 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기를 구해보자.

$$ y = \cos{ \left( ax+b \right) } $$

먼저 cos 함수의 주기는 2π이므로

$$ \cos{ \left( ax+b \right) } = \cos{ \left( ax+b +2 \pi \right) } = \cos{ \left\{ a\left( x+\frac{2\pi}{a} \right)+b \right\} } $$

따라서 cos 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기는 (2π/a)이다.

 그래프의 계형을 보면 알 수 있듯이 cos 함수는 우함수이다.

tan 함수

tan 함수

 tan 함수를 구하기 앞서 먼저 단위원을 생각해보자. 단위원에서 동경의 기울기가 곧 tan θ가 되므로, 이 기울기가 tan 함수의 함숫값이 된다. 동경을 동일한 방향으로 계속 회전시키면 일정한 회전수를 주기로 하여 동일한 기울기가 반복된다. 모든 θ에 대하여 동일한 함숫값이 반복되도록 하는 최소한의 동경의 회전수는 0.5이므로 tan 함수의 주기는 π이다. 자, 이제 tan 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기를 구해보자.

$$ y = \tan{ \left( ax+b \right) } $$

먼저 tan 함수의 주기는 π이므로

$$ \tan{ \left( ax+b \right) } = \tan{ \left( ax+b +\pi \right) } = \tan{ \left\{ a\left( x+\frac{\pi}{a} \right)+b \right\} } $$

따라서 tan 함수에 일차함수 ax+b를 합성했을 때의 주기는 (π/a)이다.

 그래프의 계형을 보면 알 수 있듯이 tan 함수는 기함수이다.

 

 

 

삼각법은 끊임없이 파동을 일으키는 크기에 대한 과학을 포함한다.

-드 모르간

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