삼각함수(8)

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 이전 글에서 사인 법칙에 대하여 알아보았다. 본문에서는 이전 글에서 예고한 바와 같이 삼각함수의 두번째 법칙인 코사인 법칙에 대하여 알아볼 것이다.

코사인 법칙

 코사인 법칙은 삼각형의 세 변과 한 각의 cos 값이 이루는 관계를 설명한다. 삼각형 ABC에 대하여 다음 등식이 성립한다.

$$ a^{2} = b^{2}+c^{2} -2bc \cos{A} $$

$$ b^{2} = a^{2}+c^{2} -2ac \cos{B} $$

$$ c^{2} = a^{2}+b^{2} -2ab \cos{C} $$

 위의 등식을 코사인 법칙이라고 한다. 위의 식을 보면 알 수 있듯이 코사인 법칙은 삼각형의 한 변의 길이를 그 변에 대한 대각의 cos 값과 다른 두변의 길이로 나타낸 관계이다. 그러므로 코사인 법칙을 이용하면 세 변의 길이를 알 때, 삼각형의 세 내각의 크기를 구할 수 있으며, 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이에 끼인 각의 크기를 알면 다른 한 변의 길이와 다른 두 각의 크기를 구할 수 있다. 즉, 코사인 법칙을 이용하여 SSS 합동과 SAS 합동을 증명할 수 있다. 또한 그 형태를 보고 눈치챈 독자들도 있겠지만 코사인 법칙은 피타고라스의 정리의 일반화라고도 할 수 있다. 코사인 법칙은 아래 과정을 통해 증명할 수 있다.

증명

 코사인 법칙을 증명하기에 앞서 각의 크기에 따라 경우를 나눠보자. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 π이므로 직각, 예각, 둔각 세 가지 경우에 대하여 증명하면 모든 삼각형에 대하여 코사인 법칙을 적용할 수 있다.

예각인 경우

 그림과 같이 예각삼각형 ABC의 꼭짓점 B에서 변 b에 내린 수선의 발을 H라 하면

$$ \overline{AH} +\overline{HC} = b \text{, } \overline{AH} = c \cos{A} \text{, } \overline{BH} = c \sin{A} $$

 삼각형 BHC는 각 BHC가 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

$$ \overline{BC}^{2} = \overline{BH}^{2}+\overline{CH}^{2} $$

$$ a^{2} = c^{2} \sin^{2}{A} +\left( b-c \cos{A} \right)^{2} $$

$$ a^{2} = c^{2} \sin^{2}{A} +b^{2} -2bc \cos{A} +c^{2} \cos^{2}{A} $$

$$ a^{2} = c^{2} \left( \sin^{2}{A} +\cos^{2}{A} \right) +b^{2} -2bc \cos{A} $$

이때, sin^{2}{A}+cos^{2}{A}=1이므로

$$ a^{2} = b^{2}+c^{2} -2bc \cos{A} $$

 따라서 임의의 각 A가 예각인 경우에 대하여 코사인 법칙이 성립한다.

직각인 경우

 각 A가 직각인 직각삼각형 ABC를 생각해보자. 피타고라스의 정리에 의하여 a^{2}=b^{2}+c^{2}이 성립한다. 이때 cos A=0이므로 a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos A, 즉 코사인 법칙이 성립한다.

둔각인 경우

 그림과 같이 각 A가 둔각인 둔각삼각형 ABC를 생각해보자. 삼각형 ABC의 변 AB의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면내린 수선의 발을 H라고 하면

$$ \angle CHA = \pi -A \text{이므로 } \overline{CH} = b \sin{ \left( \pi -A \right) } \text{, } \overline{AH} = b \cos{ \left( \pi-A \right) } $$

삼각형 BHC는 각 BHC가 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

$$ \overline{BC}^{2} = \overline{BH}^{2}+\overline{CH}^{2} $$

$$ a^{2} = \left( c+b \cos{ \left( \pi-A \right) } \right)^{2} +\left( b \sin{ \left( \pi-A \right) } \right)^{2} $$

$$ a^{2} = \left( c-b \cos{ A } \right)^{2} +\left( b \sin{ A } \right)^{2} $$

$$ a^{2} = c^{2}-2bc \cos{A} +b^{2} \cos^{2}{A} +b^{2} \sin^{2}{ A } $$

$$ a^{2} = c^{2} \left( \sin^{2}{A} +\cos^{2}{A} \right) +b^{2} -2bc \cos{A} $$

이때, sin^{2}{A}+cos^{2}{A}=1이므로

$$ a^{2} = b^{2}+c^{2} -2bc \cos{A} $$

 따라서 임의의 각 A가 둔각인 경우에 대하여 코사인 법칙이 성립한다. 동일한 방법으로 각 B, C에 대하여 증명이 가능하다. 예각, 직각, 둔각에 대하여 위에 제시된 등식이 성립하므로 모든 삼각형에 대하여 코사인 법칙이 성립한다.

 

 

 

해결된 문제란 존재하지 않는다. 해결된 것처럼 보이는 문제가 있을 뿐이다.

-푸앵카레

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