삼각함수(9)

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 2015학년도 이전 교육과정을 들은 고등학생들은 아마 코사인 법칙을 제1, 제2 두 개로 알고 있을 것이다. 제1 코사인 법칙은 한국, 일본 등 몇몇 나라에서만 사용하는 단어이고, 코사인 법칙이라고 하면 대부분의 나라에서는 제2 코사인 법칙을 말한다. 그 이유 때문인지는 모르겠지만 2015학년도 교육과정부터는 제1 코사인 법칙을 배우지 않고, 제2 코사인 법칙 하나만을 배운다. 그러나 제1 코사인 법칙이 쓸모없는 법칙은 아니라고 본다. 본문에서는 제1 코사인 법칙에 대하여 알아볼 것이다.

제1 코사인 법칙

$$ a = b \cos{C} +c \cos{B} $$

$$ b = a \cos{C} +c \cos{A} $$

$$ c = a \cos{B} +b \cos{A} $$

 제1 코사인 법칙은 한 변의 길이를 다른 두 변의 길이와 그 변^[각주:1]의 대각이 아닌 두 내각의 cos 값을 이용하여 표현해 준다. 제1 코사인 법칙을 이용하여 코사인 법칙을 증명할 수 있다. 아래는 제1 코사인 법칙의 증명과 제1 코사인 법칙을 이용한 코사인 법칙의 증명이다.

증명

 먼저 a=b cos C+c cos B를 증명해보자. 삼각형 ABC에 대하여 꼭짓점 A에서 변 BC 또는 변 BC의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하자.

각 C가 예각인 경우

[그림 1], [그림 2], [그림 3]

 위 그림을 보면 알겠지만 각 C가 예각이면 각 A의 크기에 관계없이^[각주:2] 선분 BC의 길이는 항상 두 선분 BH와 CH의 길이의 합이 된다.

$$ \overline{BC} = \overline{BH} +\overline{CH} $$

$$ \text{이때, } \overline{BH} = c \cos{B} \text{, } \overline{CH} = b \cos{C} \text{이므로} $$

$$ a = b \cos{C} +c \cos{B} $$

각 C가 직각인 경우

[그림 4]

 삼각형 ABC에 대하여 각 C가 직각이면 a=c cos B이다. 이때, cos C=0이므로 a=b cos C+c cos B가 성립한다.

각 C가 둔각인 경우

[그림 5]

 위 그림을 보면 알겠지만 각 C가 둔각이면 각 A의 크기에 관계없이 선분 BC의 길이는 항상 선분 BH에서 CH의 길이를 뺀 값이 된다.

$$ \overline{BC} = \overline{BH} -\overline{CH} $$

$$ \text{이때, } \overline{BH} = c \cos{B} \text{, } \overline{CH} = b \cos{\left( \pi-C \right)} \text{이므로} $$

$$ \overline{CH} = -b \cos{C} $$

$$ \therefore a = b \cos{C} +c \cos{B} $$

 두 변 b, c에 대한 제1 코사인 법칙 또한 위와 동일하게 증명하면 된다.

제1 코사인 법칙을 이용한 코사인 법칙의 증명

 제 1코사인 법칙 세 가지 식의 양변에 각각 a, b, c를 곱하면

$$ a^{2} = ab \cos{C} +ac \cos{B} \text{  } \cdots \text{  ①} $$

$$ b^{2} = ab \cos{C} +bc \cos{A} \text{  } \cdots \text{  ②} $$

$$ c^{2} = ac \cos{B} +bc \cos{A} \text{  } \cdots \text{  ③} $$

①+②-③을 하면

$$ a^{2} +b^{2} -c^{2} = ab \cos{C} +ac \cos{B} +ab \cos{C} +bc \cos{A} -ac \cos{B} -bc \cos{A} = 2ab \cos{C} $$

$$ \therefore c^{2} = a^{2} +b^{2} -2ab \cos{C} $$

②+③-①을 하면

$$ b^{2} +c^{2} -a^{2} = ab \cos{C} +bc \cos{A} +ac \cos{B} +bc \cos{A} -ab \cos{C} -ac \cos{B} = 2bc \cos{A} $$

$$ \therefore a^{2} = b^{2} +c^{2} -2bc \cos{A} $$

③+①-②을 하면

$$ c^{2} +a^{2} -b^{2} = ac \cos{B} +bc \cos{A} +ab \cos{C} +ac \cos{B} -ab \cos{C} -bc \cos{A} = 2ac \cos{B} $$

$$ \therefore b^{2} = a^{2} +c^{2} -2ac \cos{B} $$

 

 

 

유클리드는 나에게 가정이 없다면 증명도 없다고 가르쳤다. 그래서 어떠한 주장에서도 가정을 잘 세워야 한다.

-에릭 벨

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1. 그 한 변의 길이를 의미한다. [본문으로]
2. 각 B가 둔각이고,각 A가 예각인 경우는 각 C가 둔각인 경우와 증명이 동일하므로 제외한다. [본문으로]