확률과 통계(13)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 순열과 조합을 이용해서 조건에 따라 함수의 개수를 구해보자.

함수의 개수

$$ m^{n} $$

함수

 집합 X를 정의역으로, 집합 Y를 공역으로 하는 함수의 개수를 구해보자. 먼저 집합 X의 원소의 개수를 n, 집합 Y의 원소의 개수를 m이라고 하자. 정의역 내의 원소 각각이 대응될 수 있는 공역의 원소는 m개이므로 구하는 함수의 개수는

$$ \underbrace{ m \times m \times m \times \cdots \times m }_{n} = m^{n} $$

항등함수의 개수

$$ 1 $$

항등함수.

 집합 X를 정의역과 공역으로 하는 항등함수의 개수를 구해보자. 먼저 집합 X의 원소의 개수를 n이라고 하자. 항등함수는 정의역의 임의의 원소에 대응하는 공역의 원소가 그 정의역의 원소와 동일한 값을 가지는 함수이므로 항상 1개이다.

상수함수의 개수

$$ m $$

상수함수

 집합 X를 정의역으로, 집합 Y를 공역으로 하는 상수함수의 개수를 구해보자. 먼저 집합 X의 원소의 개수를 n, 집합 Y의 원소의 개수를 m이라고 하자. 상수함수는 정의역의 모든 원소가 동일한 함숫값을 가지는 함수이므로 함수의 개수는 곧 공역의 원소의 개수와 동일하다. 따라서 구하는 함수의 개수는 m이다.

단사함수의 개수

$$ {}_{m}\mathrm{P}_{n} $$

단사함수

 집합 X를 정의역으로, 집합 Y를 공역으로 하는 단사함수^[각주:1]의 개수를 구해보자. 먼저 집합 X의 원소의 개수를 n, 집합 Y의 원소의 개수를 m이라고 하자. 단사함수의 개수를 구하는 것은 공역의 원소 중에서 정의역의 원소의 개수만큼 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수와 동일하므로 순열의 개수로 생각할 수 있다. 따라서 구하는 경우의 수는 서로 다른 m개에서 r개를 택하는 순열의 수와 같으므로 P(m, n)이 된다.

전단사함수의 개수

$$ {}_{n}\mathrm{P}_{n} = n! $$

전단사함수

 집합 X를 정의역으로, 집합 Y를 공역으로 하는 전단사함수^[각주:2]의 개수를 구해보자. 먼저 집합 X의 원소의 개수를 n, 집합 Y의 원소의 개수를 m이라고 하자. 전단사함수는 치역과 공역이 같은 단사함수로 이해할 수 있으므로 m=n이다. 따라서 구하는 함수의 개수는 P(n, n)=n!이 된다.

 

 

 

수학은 사회적으로 조건화된 지식과 기술의 집합체이다.

-윌리엄 서스턴

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1. 정의역에 속하는 임의의 두 원소에 대하여 항상 함숫값이 다르다. 즉, ∀a, b∈X, a≠b→ f(a)≠f(b)이다. 일대일함수라고도 한다.

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2. 정의역에 속하는 임의의 두 원소에 대하여 항상 함숫값이 다르고, 공역과 치역이 같은 함수이다. 즉, ∀a, b∈X, a≠b→ f(a)≠f(b), Y=Y': {y| }이다. 일대일대응이라고도 한다.

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