삼각함수(12)

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 삼각함수의 덧셈정리에서 따름 정리로 유도되는 두 공식이 있다. 바로 배각 공식과 반각 공식이다.

배각 공식

sin

 배각 공식은 임의의 각 θ에 대하여 2θ의 삼각함수 값을 θ의 삼각함수 값으로 표현한 공식이다.

$$ \sin{ 2 \theta } = \sin{\theta} \cos{\theta} +\cos{\theta} \sin{\theta} = 2 \sin{\theta} \cos{\theta} $$

 sin 함수의 배각 공식을 가장 많이 쓴 것은 삼각함수의 극한과 곱셈 공식을 풀 때였던 것 같다.

$$ \left( \sin{ \theta } +\cos{ \theta } \right) = 1+2 \sin{ \theta } \cos{ \theta } $$

cos

$$ \cos{ 2 \theta } = \cos{\theta} \cos{\theta} -\sin{\theta} \sin{\theta} = \cos^{2}{\theta} -\sin^{2}{\theta} $$

 cos 함수의 경우에는 배각 공식이 3가지로 나뉜다. 경우에 따라 편한 것으로 사용하면 된다.

$$ \begin{matrix} \cos{ 2 \theta } &=& \cos^{2}{\theta} -\sin^{2}{\theta} \\ &=& 2 \cos^{2}{ \theta } -1 \\ &=& 1 -2 \sin^{2}{ \theta } \end{matrix} $$

tan

$$ \tan{ 2 \theta } = \frac{ \tan{ \theta } +\tan{ \theta } }{ 1 -\tan{ \theta } \tan{ \theta } } = \frac{ 2 \tan{ \theta } }{ 1-\tan^{2}{ \theta } } $$

 tan 함수의 배각 공식은 사용을 한 적이 딱히 없는 것 같다.

반각 공식

 반각 공식은 임의의 각 θ에 대하여 θ/2의 삼각함수 값을 표현한 공식이다. 반각공식은 알고 있으면 좀 더 편할 뿐이지 몰라도 크게 지장이 없다. 필자는 반각 공식을 외우지 않았고, 딱히 쓰인 곳도 없었다.

sin

$$ \sin^{2}{ \frac{ \theta }{ 2 } } = \frac{ 1-\cos{ \theta } }{ 2 } $$

cos

$$ \cos^{2}{ \frac{ \theta }{ 2 } } = \frac{ 1+\cos{ \theta } }{ 2 } $$

tan

$$ \tan^{2}{ \frac{ \theta }{ 2 } } = \frac{ 1-\cos{ \theta } }{ 1+\cos{ \theta } } $$

 

 

 

수학은 순수 지성으로 창조된 독자적인 세계이다.

-윌리엄 워즈워스

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