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수학/고등학생을 위한 수학

함수(2)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 먼저 함수란 무엇인가 알아보자. 함수란 어떤 집합 내의 각 원소를 다른 집합의 유일한 원소와 대응시키는 관계를 말한다. 즉, 함수 f: XY는 다음과 같이 정의된다.

두 집합 X, YfX×Y에 대하여
xX, yY s.t. (xy)f
(xy1)f이고 (xy2)f이면 y1=y2
두 조건 ①, ② 모두를 만족하면 f: XY라고 정의한다.

 조건 ①에서는 함수의 임의성을 말한다. 학생들에게 함수가 무엇이냐 물어보면 'y=f(x) 식으로 표현되는 것', '곡선' 등 다양한 답이 나온다. 조건 ①에서 이러한 질문에 대하여 답을 해준다. 조건 ①에서 '집합 X의 임의의 원소 x에 대응되는 집합 Y의 원소 y가 존재한다'고 기술된다. 즉, 함수는 어떤 특별한 표현에 의해 기술되거나, 어떤 규칙성을 따르거나, 특별한 형태를 가진 그래프에 의하여 묘사될 필요가 없고, 임의의 대응의 개념으로 정의되어야 한다.

 조건 ②에서는 함수의 일가성을 말한다. 함수의 일가성은 함수와 함수가 아닌 것을 구분하는 기준이 되는 것으로 정의역의 각 원소에 대하여 공역의 단 하나의 원소가 대응된다는 말이다.

위 그림의 대응 관계는 함수이다. 다만 아래 그림의 대응 관계는 모두 함수가 아니다.

 좌측의 그림은 집합 X의 원소 c에 대한 대응 관계가 정의되지 않아 조건 ①을 위배하며, 우측의 그림은 집합 X의 원소 a대응되는 집합 Y의 원소가 1, 2로 둘이므로 조건 ②를 위배한다. 그러므로 두 그림의 대응 관계는 모두 함수가 아니다.

 함수 f: XY가 정의될 때, 집합 X를 함수가 정의되는 영역이라 하여 함수 f의 정의역, 집합 Y함수 f의 공역이라고 한다. 또한 다음과 같이 정의되는 집합을 함수 f의 치역이라고 한다.

f(X)={f(x)|xX}

 이 정의에 의하여 치역은 공역의 부분집합이 된다.

 

 

 

이 세상에 배우는 지식 중에서 천국에까지 우리들은 함께 있다고 생각되는 것은 오직 수학뿐이다.

-오스븐


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