삼각함수(12)

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 삼각함수의 덧셈정리에서 따름 정리로 유도되는 두 공식이 있다. 바로 배각 공식과 반각 공식이다.

배각 공식

sin

 배각 공식은 임의의 각 θ에 대하여 2θ의 삼각함수 값을 θ의 삼각함수 값으로 표현한 공식이다.

$$\sin 2\theta =\sin \theta \cos \theta +\cos \theta \sin \theta =2\sin \theta \cos \theta$$

 sin 함수의 배각 공식을 가장 많이 쓴 것은 삼각함수의 극한과 곱셈 공식을 풀 때였던 것 같다.

$$(\sin \theta +\cos \theta )=1+2\sin \theta \cos \theta$$

cos

$$\cos 2\theta =\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$$

 cos 함수의 경우에는 배각 공식이 3가지로 나뉜다. 경우에 따라 편한 것으로 사용하면 된다.

$$\begin{array}{ccc}\cos 2\theta & =& {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =& 2{\cos }^2\theta -1\\ & =& 1-2{\sin }^2\theta \end{array}$$

tan

$$\tan 2\theta =\frac{\tan \theta +\tan \theta }{1-\tan \theta \tan \theta }=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$

 tan 함수의 배각 공식은 사용을 한 적이 딱히 없는 것 같다.

반각 공식

 반각 공식은 임의의 각 θ에 대하여 θ/2의 삼각함수 값을 표현한 공식이다. 반각공식은 알고 있으면 좀 더 편할 뿐이지 몰라도 크게 지장이 없다. 필자는 반각 공식을 외우지 않았고, 딱히 쓰인 곳도 없었다.

sin

$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$$

cos

$${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}$$

tan

$${\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }$$

 

 

 

수학은 순수 지성으로 창조된 독자적인 세계이다.

-윌리엄 워즈워스

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