수학 썸네일형 리스트형 미분과 적분(32) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지금까지 다양한 함수의 부정적분에 대해 알아보았다. 부정적분을 구하는 것에서 '적분을 하다'라는 용어를 자주 사용했다. 이 '적분을 하다'는 주로 두 가지 의미로 사용이 된다. 이 두 의미는 '부정적분을 구하다'와 '정적분을 하다'인데 주로 후자의 의미를 사용한다. 이유는 이전에 다루었듯이 과거에 정적분을 먼저 사용했고, 이후에 부정적분이라는 개념을 만들었기 때문이다. 여기서는 정적분과 부정적분의 관계에 대해 알아볼 것이다. 정적분 정적분은 주어진 구간에서 함수의 그래프로 나타내어진 넓이를 구하는 방법이다. 닫힌 구간 [a, b].. 더보기 미분과 적분(31) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 삼각함수의 부정적분은 6가지 공식이 있다. 이 6가지의 부정적분은 모두 부정적분의 정의에서부터 도출되는 식이다. 다음은 삼각함수의 부정적분 6가지이다. 삼각함수의 부정적분 $$ \text{① } f^{\prime}(x) = \sin{x} \to f(x) = -\cos{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$ $$ \text{② } f^{\prime}(x) = \cos{x} \to f(x) = \sin{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$ $$ \text{③ } f^{\p.. 더보기 미분과 적분(30) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 알아보자. 지수함수의 부정적분 다음은 지수함수의 부정적분이다. $$ f^{\prime}(x) = e^{x} \to f(x) = e^{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$ $$ f^{\prime}(x) = a^{x} \to f(x) = { {1} \over {\ln{a}} }a^{x} +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$ 지수함수를 미분하면 형태가 거의 변하지 않는다. 지수함수의 부정적분 또한 형태가 크게 변하지 않는다. 다음은 밑이 .. 더보기 미분과 적분(29) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 부정적분이 무엇인지 알아보았다. 이번 글에서는 적분의 성질과 n차 다항식의 부정적분에 대해 다룰 것이다. 적분의 성질 적분도 미분과 마찬가지로 몇 가지 성질을 가진다. 미분과 마찬가지로 덧셈에 대해서는 연산이 자유롭지만 곱셈에 대해서는 자유롭지 않다. 함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때, $$ \int f(x)\, \operatorname{d}\!x \pm \int f(x)\, \operatorname{d}\!x = \int {\left\{ f(x) \pm g(x) \right\}}\, \operatorname{d}\!.. 더보기 미분과 적분(28) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 미분에 대해 알아보았다. 이번 글에서부터는 적분에 대하여 다룰 것이다. 먼저 우리나라에서 미적분을 배우는 과정을 살펴보자. 아래의 표는 큰 주제만 따와 구성한 우리나라의 미적분 교육과정이다. 표 상단에 위치할수록 더 먼저 배운다. 극한 미분 부정적분 적분 정적분 이 표를 보면 알 수 있듯이 극한을 배운 미분을 배우고, 이후 적분을 배운다. 그러나 수학사적으로는 적분이 가장 먼저 만들어졌고, 또한 가장 먼저 사용되어 왔다. 뿐만 아니라 부정적분보다도 정적분이 더 먼저 사용되어 왔다. 그렇다면 우리는 왜 적분을 미분보다 먼저 .. 더보기 미분과 적분(27) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 삼각함수의 도함수는 특이한 성질을 가지고 있다. 먼저 삼각함수의 도함수를 보며 알아보자. 다음은 삼각함수의 도함수를 어떤 기준에 따라 분류한 것이다. $$ f(x) = \sin{x} \to f^{\prime}(x) = \cos{x} \text{, } f(x) = \cos{x} \to f^{\prime}(x) = -\sin{x} $$ $$ f(x) = \tan{x} \to f^{\prime}(x) = \sec^{2}{x} \text{, } f(x) = \cot{x} \to f^{\prime}(x) = -\csc^{2}{x} $$ $.. 더보기 미분과 적분(26) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 고등학교에서 여러 삼각함수를 다룬다. 이들은 주기함수이고, 모든 구간에서 연속인 함수도 있고 그렇지 않은 함수도 있다. 일반적으로 삼각함수에 극한을 취하면 함숫값을 극한으로 가진다. 그렇다면 (sinx)/x에 x가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 될까? sin0=0이므로 극한값이 0이라고 생각할 수도 있다. 그러나 이 식은 0/0 꼴이므로 부정형이므로 바로 극한의 수렴성을 판단할 수 없다. 이 극한은 수렴할까 발산할까? 다음 그림을 보며 알아보자. 증명 -sinx/x의 극한 우리는 이 증명에 있어 우극한과 좌극한으로 경우를 나누.. 더보기 미분과 적분(25) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 알아보았다. 여기서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구할 것이다. 지수함수의 도함수는 형태가 거의 변하지 않아 적분할 때 적절히 사용하면 편리함이 있으며, 로그함수의 도함수는 어떤 함수와 그 함수의 도함수가 분수 꼴로 이루어진 함수의 함수값을 구함에 있어서 편리하다. 지수함수 $$ f(x) = e^{x} \to f^{\prime}(x) = e^{x} $$ $$ f(x) = a^{x} \to f^{\prime}(x) = a^{x}\ln{a} $$ $$ \text{① } f(x) = e^{x} .. 더보기 이전 1 ··· 17 18 19 20 21 22 23 24 다음
