수학 썸네일형 리스트형 미분과 적분(8) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 등비수열의 극한, 수렴조건에 대해 알아 보았다. 여기서는 등비급수에 대해 알아보기 앞서 급수에 대하여 알아보겠다. 수열을 배우고 나면 수열의 합을 배운다. 어떤 수열을 무한히 더하면 어떠한 값에 가까워질까? 먼저 수열을 무한히 더한다는 것은 할 수 있는 일이 아니다. 그래서 수학자들은 이 무한히 더하는 것을 다른 방식으로 접근한다. 어떤 수열을 초항부터 적당한 항까지 더한 다음 극한을 취하는 방법을 사용한다. 이때 초항부터 적당한 항까지 더한 것을 부분합이라고 한다. 또한 부분합에 극한을 취한 것을 급수라고 한다. 예를 보.. 더보기 미분과 적분(7) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 극한을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 수열의 극한 또한 계산법이 다를 바 없다. 그러나 수열이 항에 따라 다른 수열을 따르는 수열일 경우 각 항의 극한을 계산한 후 각 항의 극한값이 모두 동일하면 극한이 그 값으로 수렴하는 것이고, 극한값이 적어도 둘이 서로 다를 경우 극한은 발산한다. $$ a_{2n-1} = 2^{-n} \text{, } a_{2n} = 4^{-n+6} \text{일때,} $$ $$ \lim_{n \to \infty}{a_{2n-1}} = \lim_{n \to \infty}{a_{2n}} = 0 $$ .. 더보기 미분과 적분(6) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한의 계산 $$ \text{대입했을 때 } { {b} \over {a} } \text{, } a \ne 0 \text{ 인 경우} $$ 이 경우에는 대입한 값이 곧 극한값이 된다. $$ \lim_{x \to 3}{\left( x^{2} + 7 \right)} = 16 $$ $$ \lim_{x \to 4}{ { {x-4} \over {\left( x +1 \right)} } } = 0 $$ 그러나 몇 가지 경우는 이 방법으로 극한값을 구할 수 없다. $$ \text{대입했을 때 } { {a} .. 더보기 미분과 적분(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 함수의 극한에 대하여 알아보았다. 처음에 나온 내용을 기억해보자. '함수' 뿐만 아니라 '수열' 또한 극한이 있다고 하였다. 수열은 자연수 집합에서 정의된 함수로 볼 수 있다. 그러나 자연수 집합에서 정의되기에 수열의 극한에서 n을 특정한 값에 한없이 가까워질 때의 극한을 구하는 것은 의미가 없다. 그래서 수열의 극한에서는 n이 무한히 커지는 경우의 극한을 조사한다. 함수의 극한이든 수열의 극한이든 극한은 크게 발산과 수렴으로 나뉘어지며, 발산은 진동하는 것과 진동하지 않는 것으로 나뉜다. 이전 글에서 수렴과 발산이 무엇인.. 더보기 미분과 적분(4) 학생들이 극한값에 대해 가지고 있는 가장 큰 오개념은 무엇일까? 미적분학(calculus)을 뉴턴과 라이프니츠가 만든 이후 수학자들은 미분이라는 연산법을 얻게 되었다. 미분은 당시 너무나 편리한 연산법이었고, 이에 수학자들은 미분을 남용하기 시작했다. 그렇게 사용하는 동안 극한에 대한 엄밀한 정의가 이뤄지지 않았으나 당시는 명제의 참과 거짓을 판별하는 것에 있어 직관으로 모든 명제가 판별이 가능하다 믿었기에 크게 신경을 쓰지 않았던 것 같다. 이후 엄밀함에 대한 논의가 진행되며 몇몇 수학자들은 미적분을 맹렬히 비판하기 시작했다. 이러한 논의는 코시와 칼 바이어슈트라스에 의해 극한이 엄밀하게 정의되며 끝이 난다. 이러한 논의는 학생들이 가지는 극한에 대한 오개념을 가지는 원인과 유사하다고 본다. 학생들은 .. 더보기 미분과 적분(3) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 극한을 정의하고 극한의 성질에 대하여 알아보았다. 극한의 성질이 성립하기 위한 선행 조건이 있었다. 바로 극한값이 존재하는 것이다. 그렇다면 이러한 의문이 생길 수 있다. 극한값은 항상 존재하는 것일까? 그렇지 않다면 극한값이 존재하기 위한 조건은 무엇일까? 아래의 그래프를 보면서 살펴보자 우극한과 좌극한 위 그래프의 함수식은 다음과 같다 $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \left( x > 0 \right) \\ 0 & \left( x \le 0 \right) \end{cases} $$ 위 그림에서 .. 더보기 미분과 적분(2) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 고등학교에서는 '수학II'와 '미적분' 두 과목에서 극한에 대한 개념을 배운다. 어떤 변수가 특정한 값에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 '변화'가 일어날 때, 주어진 '함수' 또는 '수열'이 어떠한 '값'에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 그 '값의 변화'를 나타내는 것을 '극한'이라고 배운다. 그러나 극한은 '무한'을 다루기에 극한을 사람의 언어로 표현하다보니 상당한 오개념이 잡히는 경우도 있다. 이 때문에 해석학에서는 극한을 '엡실론-델타 논법'으로 정의한다. 하지만 이러한 방식의 정의는 고등학생들이 익숙하지 않고.. 더보기 미분과 적분(1) 더보기 서론 시작하는 글 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(1) 극한 극한의 정의, 극한의 성질 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(2) 우극한, 좌극한, 함수의 연속성 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(3) 중간값 정리, 사잇값 정리, 불차노 정리, 홀수차 실계수 방정식의 근의 존재성 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(14) 극한값에 대한 오개념 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(4) 수열의 극한, 진동 발산 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(5) 극한의 계산 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(6) 수열의 극한, 등비수열의 극한, 등비수열의 수렴 조건 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(7) 자연상수 e [.. 더보기 이전 1 ··· 20 21 22 23 24 다음
