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수학

삼각함수(4) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 삼각함수를 좌표평면 상에서 원과 직각삼각형으로 정의하였다. 여기에서는 이를 이용하여 삼각항등식에 대해 알아볼 것이다. 삼각항등식의 유도 $$ \sin^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta} = 1 $$ $$ 1+\tan^{2}{\theta} = \sec^{2}{\theta} $$ $$ 1+\cot^{2}{\theta} = \csc^{2}{\theta} $$ 이름에서부터 알 수 있듯이 삼각항등식은 삼각함수로 이루어진 항등식이다. 삼각항등식에는 3가지가 있다. 다음 과정을 보며 삼각항등식을 유도해 보자. $$ \te.. 더보기
삼각함수(3) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 중학교에서 삼각비에 대해 배웠을 것이다. 중학교에서는 sin, cos, tan를 직각삼각형을 통해 정의하고, 특수각에 대해 배우며, 삼각비를 활용하는 방법에 대하여 배운다. 고등학교에서도 크게 다른 점은 없다. 다만 삼각비를 함수화하여 삼각함수로 배우며, 종류가 늘어난다는 차이가 있다. 먼저 고등학교에서 배우는 6가지 삼각비를 보자. 삼각함수 고등학교에서는 6가지 삼각함수를 배운다. 각각 sin, cos, tan, sec, csc, cot이다. 이들 6가지 삼각함수는 하나의 직각삼각형에서부터 정의가 출발한다. 다음 그림을 보며 이.. 더보기
한 글을 보고... 필자는 평소에 여유 시간이 생기면 책을 읽거나 게임, 웹툰 등 다양한 활동을 즐긴다. 주로 인터넷에 들어가 기사를 찾아 읽는 경우가 많은데, 이유는 단순히 휴대폰 하나만 있으면 간단히 볼 수 있어서이다. 얼마 전에도 평소처럼 읽을 기사를 찾고 있었는데, 마침 라는 제목의 최수일 박사님의 연재글을 볼 수 있었다. 솔직히 이 박사님이 뭐하시는 분인지, 어떠한 일을 했는지 필자는 전혀 알지 못한다. 그러나 적어도 이 글은 필자 본인이 수학에 대하여 한 번 더 생각해볼 수 있는 기회를 주었다. 수학이 왜 좋은가 에서는 '우리나라의 수학 교육에는 허점이 있다.'를 주제로 하여 몇 가지 이야기를 하고 있다. 그 중 한 가지는 상당히 인상적이었다. 유튜브 등에서 수학을 주제로 한 콘텐츠들을 찾아와 제작자의 생각에 동.. 더보기
삼각함수(2) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 호도법에 대해 알아보았다. 우리가 흔히 생각하는 각의 크기의 최댓값은 2pi;, 최솟값은 0이다. 이 범위에서 정의된 각도는 일반적인 상황에서 사용하는 데에는 딱히 문제가 없어 보인다. 그러나 두 각을 빼거나 더했을 때, 그 값이 0보다 작거나 2pi;보다 클 경우 문제가 생긴다. 이를 방지하기 위해 각의 크기의 범위를 확장시켜 보자. 일반각 반직선 AB를 시초선으로, 반직선 BP를 동경으로 하는 각 theta;를 좌표평면에 나타냈다. 여기서 각 theta;는 동경의 회전에 의하여 정의된다. 그러므로 회전 방향에 따라 각의.. 더보기
미분과 적분(43) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 만든 이후, 물리학은 미적분과 밀접한 관계를 맺으며 큰 발전을 해왔다. 특히 미적분은 변화하는 대상을 설명하는데 매우 효과적이어 미적분 이전 정적인 세계의 탐구에서 미적분 이후 동적인 세계의 탐구로 물리학의 설명이 넘어가는데 도움을 주었다. 혹자는 이 미적분이 만들어진 것을 가리켜 과학혁명이라고도 한다. 고등학교 물리학 I 수업에서는 사실상 처음부터 이 미적분을 사용한다. 바로 운동에 관한 수업이다. 운동이란 시간에 따라 물체의 위치가 변화하는 것이다. 물리학에서는 이러한 운동을 설명하기 위해 이동거리.. 더보기
미분과 적분(42) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 어떤 함수를 부분적분할 때, 자연상수 e를 밑으로 하는 지수함수가 곱해져 있으면 상당히 편하다. 필자는 이를 공식으로 정리하여 사용하기도 하였으나, 이후 사용의 익숙해짐에 따라 자연스럽게 사용하게 되었다. 이 중 하나를 같이 공유하고자 한다. $$ \left\{ e^{x} f(x) \right\}^{\prime} = \left\{ f(x)+f^{\prime}(x) \right\}e^{x} $$ e^{x}를 미분하면 e^{x}가 나오므로 e^{x}가 곱해져 있는 꼴의 함수의 경우, 도함수 또한 e^{x}가 곱해져 있는 꼴이 나오게 .. 더보기
미분과 적분(41) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 삼각치환법 삼각치환법은 적분하기 어려운 함수를 삼각함수의 성질을 이용하여 비교적 간단하게 적분할 수 있도록 해주는 적분법이다. 고등학교에서 삼각치환법은 주로 정적분을 계산하기 위해 사용되는데, 이는 고등학교에서는 arcsin 등의 삼각함수를 배우지 않기 때문이다. 삼각치환법의 종류는 크게 3가지가 있다. 여기서는 이를 세분화하여 6가지로 서술할 것이다. sin, cos 치환 $$ a>0 \text{에 대하여 } x>a \text{, } x=a\sin{ \theta } \left( -{ {\pi} \over {2} } \le \th.. 더보기
미분과 적분(40) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. $$ \int { f^{\prime}(x)g{x} }\, \operatorname{d}\!x = f(x)g(x) - \int {f(x)g^{\prime}(x)}\, \operatorname{d}\!x $$ LATE(로다삼지) 부분적분법은 두 함수가 곱해져 있는 꼴의 함수를 적분할 때 사용하는 적분법이다. 부분적분법을 사용할 때에는 곱해져 있는 두 함수를 결정하고, 위의 식에서 f'(x)와 g(x)가 두 함수 중 어떤 것이 될지 결정해야 한다. 이것이 바로 보이는 함수의 경우 고민할 필요가 없다. 그러나 대부분의 경우 바로 보이지 .. 더보기
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