미분과 적분(44)

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 이전 글에서 여러 물리량에 대하여 알아보았다. 여기서는 이들을 어떻게 활용할 수 있을지 알아볼 것이다.

점의 이동거리

 특정 시간동안의 점 P의 이동거리는 어떻게 구할 수 있을까? 이동거리는 점 P의 위치에 의하여 만들어진 자취의 길이, 즉 곡선의 길이로 생각할 수 있다. 이러한 곡선의 길이를 구하기 위해 구분구적법의 원리를 이용해보자. 구분구적법은 구하고자 하는 넓이가 쉽게 구해지지 않으므로 적당한 구간으로 나누어 넓이를 구하는 방법이다. 곡선의 길이 또한 그와 유사한 방법으로 구할 수 있다. 다음 그림을 보자.

 점 P가 점 A에서 점 B까지 이동할 때의 거리를 구해보자. 시각 t에서 점 P의 좌표는 ( t, g(t) )이며, 두 점 A, B의 좌표는 각각 ( a, g(a) ), ( b, g(b) )이다. 즉, 시각 t에 대하여 점 P가 t=a부터 t=b까지 이동한 거리를 구하면 된다.

 먼저 곡선을 적당한 구간으로 나누고, 나누어진 구간을 일반화한 식으로 나타내보자.

$$ P_{k} \left(x_{k} \text{, } g(x_{k}) \right) \text{  } \left( x_{k} = a+\frac{ \left( b-a \right)k }{ n } \right) $$

 이때, 선분 P_{k}P_{k-1}은 구간 [k, k-1]에서 곡선의 길이보다 작으므로 곡선의 길이를 l이라고 하면

$$ l \ge \sum_{k=1}^{n}{ \overline{P_{k}P_{k-1}} } $$

$$ \text{이때, } \overline{ P_{k}P_{k-1} } = \sqrt{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right)^{2} +\left( g(x_{k}) -g(x_{k-1}) \right)^{2} } \text{이므로} $$

$$ l \ge \sum_{k=1}^{n}{ \sqrt{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right)^{2} +\left\{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) \right\}^{2} } } $$

$$ \sum_{k=1}^{n}{ \sqrt{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right)^{2} +\left\{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) \right\}^{2} } } = \sum_{k=1}^{n}{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \sqrt{ 1 +\left\{ \frac{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) }{ x_{k}-x_{k-1} } \right\}^{2} } } $$

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \sqrt{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right)^{2} +\left\{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) \right\}^{2} } } } = \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \sqrt{ 1 +\left\{ \frac{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) }{ x_{k}-x_{k-1} } \right\}^{2} } } } $$

이때, n →∞일때, x_{k}→a이고,

$$ g^{\prime}(c_{k}) = \frac{ g(x_{k})-g(x_{k-1}) }{ x_{k}-x_{k-1} } $$

을 만족하는 c_{k}가 열린 구간 (x_{k}-x_{k-1}) 안에 존재하므로

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \sqrt{ 1 +\left\{ \frac{ g(x_{k}) -g(x_{k-1}) }{ x_{k}-x_{k-1} } \right\}^{2} } } } = \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(c_{k}) \right\}^{2} } } } $$

$$ \text{이때, } x_{k}-x_{k-1} = \frac{b-a}{n} \text{이므로} $$

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(c_{k}) \right\}^{2} } } } = \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \frac{ b-a }{ n } \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(c_{k}) \right\}^{2} } } } $$

급수와 정적분의 관계에 의하여

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{ \frac{ b-a }{ n } \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(c_{k}) \right\}^{2} } } } = \int_{a}^{b}{ \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(t) \right\}^{2} } }\, dt $$

∴샌드위치 정리에 의하여

$$ l = \int_{a}^{b}{ \sqrt{ 1 +\left\{ g^{\prime}(t) \right\}^{2} } }\, dt $$

 이는 시각 t에 따른 점 P의 위치가 (f(t), g(t))인 경우로 확장시킬 수 있다. t=a부터 t=b까지의 점 P의 이동거리를 l이라고 하면

$$ l = \int_{a}^{b}{ \sqrt{ \left\{ f^{\prime}(t) \right\}^{2} +\left\{ g^{\prime}(t) \right\}^{2} } }\, dt $$

 지금까지 특정한 시간 동안 이동한 점의 이동거리를 구하는 방법에 대해 알아보았다. 이를 보면 굳이 시각 t에 따른 점의 위치를 몰라도 속도를 알면 점의 이동거리를 구할 수 있음을 알 수 있다.

 

 

 

우주는 '미분'으로 쓰여있고, 거기서부터 우리가 필요로 하는 위치를 추출해 내는 과정을 '적분'이라 합니다

-김상욱 교수님

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