기하와 벡터(14)

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 지금까지 여러 이차곡선에 접하는 접선의 방정식을 유도하였다. 이 중 이차곡선에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식에 대하여 알아보자.

기울기가 m인 접선의 방정식

원

$$ x^{2} +y^{2}= r^{2} \to y = mx \pm r \sqrt{ m^{2}+1 } $$

포물선

$$ y^{2} = 4px \to y = mx +\frac{p}{m} $$

$$ x^{2} = 4py \to y = mx -pm^{2} $$

타원

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } +\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2}+b^{2} } $$

쌍곡선

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } -\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2}-b^{2} } $$

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } -\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = -1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2}+b^{2} } $$

 기울기가 m이면서 이차곡선에 접하는 접선의 방정식은 그다지 큰 공통점은 없다. 다만 간단히 공식으로 정리되어 있을 뿐이다. 여기서 특이한 것은 접선의 기울기가 주어졌을 때, 포물선과 쌍곡선에서는 하나의 접선만이 나오지만, 원과 타원의 경우에는 두 개의 접선이 나옴을 알 수 있다. 그러므로 원과 타원에 접하는 접선의 방정식을 구할 때, 접선의 방정식 하나만 구하고 끝내는 불상사가 있지 않도록 주의하기 바란다.

 

 

 

수학은 인간정신의 자유로운 창조물이다.

-데데킨트

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