기하와 벡터(12)

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 앞서 쌍곡선과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보았다. 그 중 쌍곡선과 직선이 접하는 경우의 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아볼 것이다.

쌍곡선에 접하는 접선

좌표평면 상에 나타낸 쌍곡선과 그에 접하는 접선.

 쌍곡선과 직선이 한 점에서 접하면서 만나면 이때의 직선을 접선이라고 한다. 쌍곡선에서는 이러한 접선이 쌍곡선 위의 한 점에서만 만난다. 여기서는 이러한 접선의 방정식을 유도하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 접선의 기울기와 접선이 지나는 한 점을 알면 된다. 접선의 기울기는 접선이 지나는 두 점을 통해 구할 수도 있지만, 이전에 어떤 도형에서 도형 위의 한 점에서 접하는 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 값이 같다고 하였다. 이를 이용하면 상황에 따라 다르지만 조금 더 편하게 접선의 방정식을 구할 수 있다. 주로 나오는 유형에는 쌍곡선 위의 한 점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 쌍곡선 밖의 한 점이 주어진 경우가 있다.

쌍곡선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

쌍곡선 위의 한 점 P(p, q)에서의 접선의 방정식
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \to \frac{px}{a^{2}} -\frac{qy}{b^{2}} = 1 $$
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1 \to \frac{px}{a^{2}} -\frac{qy}{b^{2}} = -1 $$

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$

 위의 방정식으로 주어진 쌍곡선 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})를 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

매개변수 t를 활용해 쌍곡선의 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ x = a \frac{e^{t}+e^{-t}}{2} \text{, } y = b \frac{e^{t}-e^{-t}}{2} $$

그러므로 점 P를 나타내는 매개변수 t의 값을 t_{1}이라 하면

$$ x_{1} = a \frac{e^{t_{1}}+e^{-t_{1}}}{2} \text{, } y_{1} = b \frac{e^{t_{1}}-e^{-t_{1}}}{2} $$

이때 쌍곡선의 방정식을 매개변수 t에 대하여 미분하면

$$ \frac{dx}{dt} = a \frac{e^{t}-e^{-t}}{2} \text{, } \frac{dy}{dt} = b \frac{e^{t}+e^{-t}}{2} \text{이므로} $$

점 P에서의 미분계수는

$$ \frac{dx}{dt} = a \frac{ e^{t_{1}}-e^{-t_{1}} }{ 2 } = \frac{ay_{1}}{b} \text{,} $$

$$ \frac{dy}{dt} = b \frac{e^{t_{1}}+e^{-t_{1}}}{2} = \frac{bx_{1}}{a} $$

자, 이제 미분계수를 구했으니 접선의 방정식을 구할 수 있다. 미분계수는 곧 기울기와 값이 같으므로, 쌍곡선 위의 점 P를 지나는 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$ \frac{ay_{1}}{b} \left( y-y_{1} \right) = \frac{bx_{1}}{a} \left( x-x_{1} \right) $$

이대로 식을 놔두어도 되지만 보기에 예쁘지 않다. 식을 정리해보자.

$$ a^{2}y_{1} \left( y-y_{1} \right) = b^{2}x_{1} \left( x-x_{1} \right) $$

$$ a^{2}y_{1}y -a^{2}y_{1}^{2} = b^{2}x_{1}x -b^{2}x_{1}^{2} $$

$$ b^{2}x_{1}x -a^{2}y_{1}y = +b^{2}x_{1}^{2} -a^{2}y_{1}^{2} $$

$$ \frac{x_{1}x}{a^{2}} -\frac{y_{1}y}{b^{2}} = \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} -\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} $$

이때, 점 P는 쌍곡선 위의 한 점이므로

$$ \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} -\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1 $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ \frac{x_{1}x}{a^{2}} -\frac{y_{1}y}{b^{2}} = 1 $$

 이전에 <접선의 방정식 - 포물선의 접선>에서 언급한 바와 같이 고등학교 수학 중 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다. 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야 한다. 포물선에서와 마찬가지로 쌍곡선에서도 적당한 직선^[각주:1]을 잡아주고 대입을 통해 구해주면 된다. 직접 한번 해보길 바란다.

기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식

기울기가 m인 접선의 방정식
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2}-b^{2} } $$
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2}+b^{2} } $$

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$

 위의 방정식으로 주어진 쌍곡선에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 두자.

$$ y = mx+n $$

쌍곡선의 방정식과 접선의 방정식을 연립하면

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{ \left( mx+n \right)^{2} }{b^{2}} = 1 $$

$$ b^{2}x^{2} -a^{2} \left( mx+n \right)^{2} = a^{2}b^{2} $$

$$ b^{2}x^{2} -a^{2}m^{2}x^{2} -2a^{2}mnx -a^{2}n^{2} = a^{2}b^{2} $$

$$ \left( a^{2}m^{2} -b^{2} \right) x^{2} +2a^{2}mnx +a^{2}n^{2} +a^{2}b^{2} = 0 $$

자, 이제 x에 대한 이차방정식이 나왔다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 이 이차방정식의 해가 실수인 중근이 나와야 하므로 판별식 D=0이다.

$$ \text{이때 } \frac{D}{4} = a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{2}m^{2} -b^{2} \right) \left( a^{2}n^{2} +a^{2}b^{2} \right) \text{이므로} $$

$$ a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{2}m^{2} -b^{2} \right) \left( a^{2}n^{2} +a^{2}b^{2} \right) = 0 $$

$$ a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{4}m^{2}n^{2} +a^{4}b^{2}m^{2} -a^{2}b^{2}n^{2} -a^{2}b^{4} \right) = 0 $$

$$ -a^{4}b^{2}m^{2} +a^{2}b^{2}n^{2} +a^{2}b^{4} = 0 $$

이때 a^{2}>0, b^{2}>0이므로

$$ a^{2}m^{2} -n^{2} -b^{2} = 0 $$

$$ n^{2} = a^{2}m^{2} -b^{2} $$

$$ n = \pm \sqrt{ a^{2}m^{2} -b^{2} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2} -b^{2} } $$

이 접선의 방정식을 공식으로 외워도 된다. 매번 유도하기는 귀찮으니. 다만 필자 개인적으로는 공식을 외우지 않고, 접선의 방정식을 유도하는 과정을 반복적으로 학습하는게 더 좋다고 본다.

쌍곡선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식

 쌍곡선 밖의 한 점 P(p, q)를 지나는 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아보자. 이 경우를 유도하는 것은 유도는 잡소리가 너무 많아 설명으로 대체하겠다. 방법은 포물선과 타원에서 접선의 방정식을 유도하는 것과 동일하다. 쌍곡선 위의 점 Q(x_{1}, y_{1})을 잡아준 후 적당히 접선의 방정식을 구해준다. 그 다음 점 P를 대입한 뒤 식을 정리해주면 x_{1}, y_{1}에 대한 방정식으로 정리된다. 점 P가 쌍곡선 위의 점임을 이용하면 x_{1}, y_{1}에 대한 이차방정식과 일차방정식이 연립된 연립방정식이 나오게 된다. 이를 이용하여 x_{1}, y_{1}의 값을 구한다. 구한 x_{1}, y_{1}의 값을 대입하여 접선의 방정식을 구한다.

 

 

 

순수수학은 우리가 무엇에 관하여 말하는지도 모르고 우리가 하는 말이 옳은지도 모르고 하는 학문이다.

-버트란드 러셀

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1. 직선의 방정식을 p( x-x_{1} )+q( y-y_{1} ) = 0 꼴로 잡아주는게 임의의 직선을 나타낼 수 있어서 좋다. 물론 y=mx+n 꼴로 잡아주어도 상관없다. 다만 이 경우 x축에 수직인 직선은 표현할 수 없다는 단점이 있다. 그렇다해도 어떻게 직선의 방정식을 잡아주든 딱히 문제는 없으므로 편한 대로 하면 된다. [본문으로]