기하와 벡터(9)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 좌표평면 상에 나타낸 여러 도형들은 위치에 따라 겹쳐지기도 하며 여러 관계를 만들어내며, 이는 이차곡선도 예외가 아니다. 여기서는 타원과 직선 간의 위치 관계에 대하여 알아볼 것이다.

타원과 직선의 위치 관계

 좌표평면 상에서 두 도형의 교점의 개수를 구하는 방법은 지극히 단순하다. 두 도형의 방정식을 연립하여 연립방정식의 해를 구하면 되는데, 우리는 xy 평면 위에서의 도형을 다루므로 x, y에 대한 연립방정식의 해를 구하면 된다. 타원과 직선의 위치 관계에 대해 알아보기 위해 두 도형의 방정식을 연립해보자. 타원의 방정식은 x, y에 대한 이차방정식이고, 직선의 방정식은 x, y에 대한 일차방정식이므로 두 도형의 방정식을 연립하면 연립이차방정식이 나오게 된다. 이를 풀어주었을 때 나오는 실근의 개수가 바로 두 도형의 교점의 개수가 된다. 다음 과정을 보며 교점의 개수에 따라 달라지는 조건에 대하여 알아보자.

 먼저 좌표평면 상에서 일반적으로 사용할 수 있는 타원이 필요하다. 이전에 다룬 타원의 방정식은 모든 형태의 타원을 설명할 수는 있으나, 위치가 고정되어 있다. 그러나 타원을 평행이동 시켜주면 이를 간단히 해결할 수 있다. 그러므로 본문에서는 기본적인 타원의 방정식을 통해 타원과 직선의 위치 관계를 설명하는 것만 다룰 것이다. 다른 타원의 방정식에서도 동일한 방법을 사용할 수 있다.

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \text{ } \cdots \text{ ①}$$

$$ x = k \text{  } \cdots \text{  ②}$$

$$ y = mx+n \text{  } \cdots \text{  ③}$$

 본문에서는 ①의 타원의 방정식과 ②, ③의 직선의 방정식을 사용할 것이다. 타원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하면 x, y에 대한 연립방정식을 만들 수 있고, 적당히 대입해 정리해주면 x 또는 y에 대한 이차방정식이 나온다. 그러므로 나온 이차방정식에서 판별식 D를 사용하여 실근의 개수를 구할 수 있고, 이는 곧 교점의 개수와 연결된다. 판별식 D의 값이 양수이면 교점은 두 개이고, 음수이면 교점은 없으며, 0이면 교점은 하나이다. 또한 이차방정식에서 판별식의 값이 0인 경우 중근을 가지므로 이때의 교점에서는 타원과 직선이 접한다.

타원의 방정식 ①과 직선의 방정식 ②를 연립하는 경우

타원의 방정식
$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 $$
직선의 방정식
$$ x = k $$
두 개의 교점에서 만나는 경우
$$ -a < k < a $$
한 개의 교점에서 만나는 경우^[각주:1]
$$ k = \pm a $$
만나지 않는 경우
$$ k < -a \text{ 또는 } k > a $$

타원과 직선의 위치 관계를 나타낸 그림.

 이 경우는 그림으로 이해하는 것이 수식으로 설명하는 것보다 편하다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이 k의 값의 범위에 따라 두 도형의 교점의 개수가 0부터 2까지 변화한다.

$$ \begin{cases} { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \\ x=k \end{cases} $$

 타원의 방정식 ①에 직선의 방정식 ②를 대입하면

$$ { {k^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 $$

$$ { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 -{ {k^{2}} \over {a^{2}} } $$

이제 y에 대한 이차방정식이 만들어졌다. 이 이차방정식의 해를 조사하여 교점의 개수를 파악해보자.

교점의 개수가 2개인 경우

 다음의 부등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가진다는 것과 동치이다.

$$ 1 -{ {k^{2}} \over {a^{2}} } > 0 $$

$$ a^{2} > k^{2} $$

$$ -a < k < a $$

 이 경우 타원과 직선이 두 교점에서 만난다.

교점의 개수가 1개인 경우

 다음의 등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 하나의 실근^[각주:2]을 가진다는 것과 동치이다.

$$ 1 -{ {k^{2}} \over {a^{2}} } = 0 $$

$$ a^{2} = k^{2} $$

$$ k = \pm a $$

 이 경우 타원과 직선이 접하면서 한 점에서 만난다.

교점의 개수가 0개인 경우

 다음의 부등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가진다는 것과 동치이다.

$$ 1 -{ {k^{2}} \over {a^{2}} } < 0 $$

$$ a^{2} < k^{2} $$

$$ k < -a \text{ 또는 } k > a $$

 이 경우 타원과 직선이 만나지 않는다.

타원의 방정식 ①과 직선의 방정식 ③을 연립하는 경우

타원과 직선의 위치 관계를 나타낸 그림

타원의 방정식
$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 $$
직선의 방정식
$$ y = mx+n $$
두 개의 교점에서 만나는 경우
$$ a^{2}m^{2}+b^{2} > n^{2} $$
한 개의 교점에서 만나는 경우^[각주:3]
$$ a^{2}m^{2}+b^{2} = n^{2} $$
만나지 않는 경우
$$ a^{2}m^{2}+b^{2} < n^{2} $$

$$ \begin{cases} { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \\ y = mx+n \end{cases} $$

 타원의 방정식 ①에 직선의 방정식 ③을 대입하면

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ { \left( mx+n \right)^{2} } \over {b^{2}} } = 1 $$

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } +{ { m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2} } \over {b^{2}} } = 1 $$

$$ b^{2}x^{2} +a^{2}m^{2}x^{2} +2a^{2}mnx +a^{2}n^{2} = a^{2}b^{2} $$

$$ \left( b^{2} +a^{2}m^{2} \right) x^{2} +2a^{2}mnx +a^{2}n^{2} -a^{2}b^{2} = 0 $$

이제 y에 대한 이차방정식이 만들어졌다. 이 이차방정식의 해를 조사하여 교점의 개수를 파악해보자. 먼저 이 이차방정식에 대한 판별식 D는 다음의 식과 같다.

$$ \begin{matrix} { {D} \over {4} } &=& a^{4}m^{2}n^{2} -\left( b^{2} +a^{2}m^{2} \right) \left( a^{2}n^{2} -a^{2}b^{2} \right) \\ &=& a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{2}b^{2}n^{2} -a^{2}b^{4} +a^{4}m^{2}n^{2} -a^{4}b^{2}m^{2} \right) \\ &=& -a^{2}b^{2}n^{2} +a^{2}b^{4} +a^{4}b^{2}m^{2} \\ &=& a^{2}b^{2} \left( a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} \right) \end{matrix} $$

교점의 개수가 2개인 경우

 다음의 부등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가진다는 것과 동치이다.

$$ D > 0 $$

$$ a^{2}b^{2} \left( a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} \right) > 0 $$

이때, a^{2}b^{2}>0이므로

$$ a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} > 0 $$

$$ a^{2}m^{2}+b^{2} > n^{2} $$

 이 경우 타원과 직선이 두 교점에서 만난다.

교점의 개수가 1개인 경우

 다음의 등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 하나의 실근^[각주:4]을 가진다는 것과 동치이다.

$$ D = 0 $$

$$ a^{2}b^{2} \left( a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} \right) = 0 $$

이때, a^{2}b^{2}>0이므로

$$ a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} = 0 $$

$$ a^{2}m^{2}+b^{2} = n^{2} $$

 이 경우 타원과 직선이 접하면서 한 점에서 만난다.

교점의 개수가 0개인 경우

 다음의 부등식을 만족하는 것은 위 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가진다는 것과 동치이다.

$$ D < 0 $$

$$ a^{2}b^{2} \left( a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} \right) < 0 $$

이때, a^{2}b^{2}>0이므로

$$ a^{2}m^{2}+b^{2}-n^{2} < 0 $$

$$ a^{2}m^{2}+b^{2} < n^{2} $$

 이 경우 타원과 직선이 만나지 않는다.

정리

 타원은 직선과 두 점에서 만나거나, 한 점에서 만나거나, 만나지 않는다. 특히 한 점에서 만나는 경우에는 타원과 직선이 항상 접한다.

 

 

 

수학에 대해 좀 더 많은 것을 알 수 있는 기회를 가졌던 많은 사람들은, 수학을 산술과 혼동해서 딱딱한 과학이라고 생각한다. 그러나 사실 수학은 엄청난 상상력을 필요로 하는 과학이다.

-소피아 코발레프스키

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1. 또는 접하는 경우 [본문으로]
2. 실수인 중근 [본문으로]
3. 또는 접하는 경우 [본문으로]
4. 실수인 중근 [본문으로]