기하와 벡터(10)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 앞서 타원과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보았다. 그 중 타원과 직선이 접하는 경우의 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아볼 것이다.

타원에 접하는 접선

좌표평면 상에 나타낸 타원과 접선

 타원과 직선이 한 점에서 접하면서 만나면 이때의 직선을 접선이라고 한다. 타원에서는 이러한 접선이 타원 위의 한 점에서만 만난다. 여기서는 이러한 접선의 방정식을 유도하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 접선의 기울기와 접선이 지나는 한 점을 알면 된다. 접선의 기울기는 접선이 지나는 두 점을 통해 구할 수도 있지만, 이전에 어떤 도형에서 도형 위의 한 점에서 접하는 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 값이 같다고 하였다. 이를 이용하면 상황에 따라 조금 더 편하게 접선의 방정식을 구할 수 있다. 주로 나오는 유형에는 타원 위의 한 점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 타원 밖의 한 점이 주어진 경우가 있다.

타원 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

타원 위의 점 P(p, q)에서의 접선의 방정식
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\to \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$$

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

 위의 방정식으로 주어진 타원 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})를 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

매개변수 t를 활용해 타원의 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$x=a\sin t\text{, }y=b\cos t(0\le t<2\pi )(\because {\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1)$$

그러므로 점 P를 나타내는 매개변수 t의 값을 t_{1}이라 하면

$$x_1=a{\sin }_{t_1}\text{, }{y}_1=b{\cos }_{t_1}$$

이때 타원의 방정식을 매개변수 t에 대하여 미분하면

$$\frac{dx}{dt}=a\cos t\text{, }\frac{dy}{dt}=-b\sin t\text{이므로}$$

점 P에서의 미분계수는

$$\frac{dx}{dt}=a\cos t_1=\frac{a{y}_1}{b}\text{,}$$

$$\frac{dy}{dt}=-b\sin t_1=-\frac{b{x}_1}{a}$$

자, 이제 미분계수를 구했으니 접선의 방정식을 구할 수 있다. 미분계수는 곧 기울기와 값이 같으므로, 타원 위의 점 P를 지나는 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{a{y}_1}{b}(y-y_1)=-\frac{b{x}_1}{a}(x-x_1)$$

이대로 식을 놔두어도 되지만 보기에 예쁘지 않다. 식을 정리해보자.

$$a^2{y}_1(y-y_1)=-b^2{x}_1(x-x_1)$$

$$a^2{y}_{1}y-a^2{y}_1^2=-b^2{x}_{1}x+b^2{x}_1^2$$

$$a^2{y}_{1}y+b^2{x}_{1}x=b^2{x}_1^2+a^2{y}_1^2$$

$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$$

이때, 점 P는 타원 위의 한 점이므로

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$

여기서 눈치 챈 독자들도 있을 것이다. 이 경우 접선의 방정식의 형태가 포물선과 비슷한 것이 있다는 것을. 이에 대한 설명은 쌍곡선의 접선의 방정식 이후에 다룰 것이다.

 이전에 <접선의 방정식 - 포물선의 접선>에서 언급한 바와 같이 고등학교 수학 중 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다. 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야 한다. 포물선에서와 마찬가지로 타원에서도 적당한 직선^[각주:1]을 잡아주고 대입을 통해 구해주면 된다. 직접 한번 해보길 바란다.

기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식

기울기가 m인 접선의 방정식
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\to y=mx\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$$

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

 위의 방정식으로 주어진 타원에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 두자.

$$y=mx+n$$

타원의 방정식과 접선의 방정식을 연립하면

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{(mx+n)}^2}{b^2}=1$$

$$b^2{x}^2+a^2{(mx+n)}^2=a^2{b}^2$$

$$b^2{x}^2+a^2{m}^2{x}^2+2a^{2}mnx+a^2{n}^2=a^2{b}^2$$

$$(a^2{m}^2+b^2)x^2+2a^{2}mnx+a^2{n}^2-a^2{b}^2=0$$

자, 이제 x에 대한 이차방정식이 나왔다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 이 이차방정식이 중근이 나와야 하므로 판별식 D=0이다.

$$\text{이때 }\frac{D}{4}=a^4{m}^2{n}^2-(a^2{m}^2+b^2)(a^2{n}^2-a^2{b}^2)\text{이므로}$$

$$a^4{m}^2{n}^2-(a^2{m}^2+b^2)(a^2{n}^2-a^2{b}^2)=0$$

$$a^4{m}^2{n}^2-(a^4{m}^2{n}^2-a^4{b}^2{m}^2+a^2{b}^2{n}^2-a^2{b}^4)=0$$

$$a^4{b}^2{m}^2-a^2{b}^2{n}^2+a^2{b}^4=0$$

이때 a^{2}>0, b^{2}>0이므로

$$a^2{m}^2-n^2+b^2=0$$

$$n^2=a^2{m}^2+b^2$$

$$n=\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$y=mx\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$$

이 접선의 방정식을 공식으로 외워도 된다. 매번 유도하기는 귀찮으니까. 다만 필자 개인적으로는 공식을 외우지 않고, 접선의 방정식을 유도하는 과정을 반복적으로 학습하는게 더 좋다고 본다.

타원 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

 위의 방정식으로 주어진 타원 밖의 한 점 P(p, q)를 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

 타원과 접선 간의 접점을 Q(x_{1}, y_{1})라고 하면 접선의 방정식은

$$\frac{x_{1}x}{a^2}+\frac{y_{1}y}{b^2}=1$$

점 P가 접선 위에 있으므로

$$\frac{x_{1}p}{a^2}+\frac{y_{1}q}{b^2}=1$$

$$\frac{x_{1}p}{a^2}=1-\frac{y_{1}q}{b^2}$$

$$p{x}_1=a^2(1-\frac{y_{1}q}{b^2})\cdots \text{ ①}$$

점 Q가 타원 위에 있으므로

$$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$$

$$\frac{p^2{x}_1^2}{a^2}+\frac{p^2{y}_1^2}{b^2}=p^2\cdots \text{ ②}$$

②에 ①을 대입하면

$$\frac{1}{a^2}\cdot a^4{(1-\frac{y_{1}q}{b^2})}^2+\frac{p^2{y}_1^2}{b^2}=p^2$$

$$a^2{(1-\frac{y_{1}q}{b^2})}^2+\frac{p^2{y}_1^2}{b^2}=p^2$$

$$a^2{(b^2-y_{1}q)}^2+b^2{p}^2{y}_1^2=p^2{b}^4$$

$$a^2{b}^4-2a^2{b}^2{y}_{1}q+a^2{y}_1^2{q}^2+b^2{p}^2{y}_1^2=p^2{b}^4$$

$$(a^2{q}^2+b^2{p}^2)y_1^2-2a^2{b}^{2}q{y}_1+a^2{b}^4-p^2{b}^4=0$$

근의 공식에 의하여

$$y_1=\frac{a^2{b}^{2}q\pm \sqrt{a^4{b}^4{q}^2-(a^2{q}^2+b^2{p}^2)(a^2{b}^4-p^2{b}^4)}}{a^2{q}^2+b^2{p}^2}$$

y_{1}을 구하는 것과 마찬가지로 x_{1}을 구하고 접선의 방정식을 구하면 된다.

 

 

 

지적인 노력에 대해 상을 준다면 그 가치가 떨어진다고 생각한다.

-패러데이

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1. 직선의 방정식을 p( x-x_{1} )+q( y-y_{1} ) = 0 꼴로 잡아주는게 임의의 직선을 나타낼 수 있어서 좋다. 물론 y=mx+n 꼴로 잡아주어도 상관없다. 다만 이 경우 x축에 수직인 직선은 표현할 수 없다는 단점이 있다. 그래도 어떻게 직선의 방정식을 잡아주든 딱히 문제는 없으므로 편한 대로 하면 된다. [본문으로]