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앞서 포물선과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보았다. 그 중 포물선과 직선이 한점에서 만나는 경우는 접하는 경우와 접하지 않는 경우 두 가지로 나뉜다. 그 중 접하는 경우에 대해 알아보자.
포물선에 접하는 접선


포물선과 직선이 한 점에서 접하면서 만나면 이때의 직선을 접선이라고 한다. 포물선에서는 이러한 접선이 포물선 위의 한 점에서만 만난다. 여기서는 이러한 접선의 방정식을 유도하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 접선의 기울기와 접선이 지나는 한 점을 알면 된다. 접선의 기울기는 접선이 지나는 두 점을 통해 구할 수도 있지만, 이전에 어떤 도형에서 도형 위의 한 점에서 접하는 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 값이 같다고 하였다. 이를 이용하면 상황에 따라 조금 더 편하게 접선의 방정식을 구할 수 있다. 주로 나오는 유형에는 포물선 위의 한 점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 포물선 밖의 한 점이 주어진 경우가 있다.
포물선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식
포물선 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식
y2=4px→by=4px+a2
x2=4py→ax=4py+b2
y2=4px
위의 방정식으로 주어진 포물선 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.
포물선의 방정식에 음함수의 미분법을 사용하면
2y=4p⋅dxdy이므로
-이처럼 y로 미분하는 이유는 아래의 각주 1에서 설명해 놓았다.-
dxdy=y12p
여기서 dy/dx가 접선의 기울기가 되고, 접선이 점 P를 지나므로 구하는 접선의 방정식은
y12p(y−y1)=x−x1
y1(y−y1)=2p(x−x1)
y1y=2p(x−x1)+y21
이때 점 P는 포물선 y^{2}=4px 위의 점이므로
y21=4px1
따라서 y1y=2p(x−x1)+4px1
y1y=2p(x+x1)
y1y=4p⋅x+x12
이러한 형태로 공식화하여 외우는 경우도 있다. 그러나 필자 개인적으로는 그냥 과정을 아는 것이 훨씬 편하다고 생각한다. 포물선 x^{2}=4py 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.
고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야한다. 아래는 미분을 사용하지 않고 접선의 방정식을 구하는 방법이다.
y2=4px
앞서와 마찬가지로 위의 방정식으로 주어진 포물선 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 잡아주자.
x−x1=a(y−y1)
이렇게 직선의 방정식을 잡아주면 기울기는 1/a가 된다. 우리는 이 a의 값을 구해줄 것이다. 1
x=a(y−y1)+x1
y^{2}=4px에 x=a( y-y_{1} )+x_{1}를 대입하면
y2=4p{a(y−y1)+x1}
y2−4pay+4pay1−4px1=0
두 도형이 접하므로 판별식 D=0이다. 이때,
D4=4p2a2−4pay1+4px1
이고, p≠0이므로
pa2−ay1+x1=0
x1=−pa2+ay1
이때 y21=4px1이므로
y_{1}^{2}=4px_{1}에 x_{1}=-pa^{2}+ay_{1}를 대입하면
y21=4p(−pa2+ay1)
y21=−4p2a2+4pay1
y21−4pay1+4p2a2=0
(y1−2pa)2=0
따라서 a=y12p
따라서 구하는 접선의 방정식은
x=y12p(y−y1)+x1
y1(y−y1)=2p(x−x1)
y1y=2p(x−x1)+y21
이때 점 P는 포물선 y^{2}=4px 위의 점이므로
y21=4px1
따라서 y1y=2p(x−x1)+4px1
y1y=2p(x+x1)
y1y=4p⋅x+x12
포물선 x^{2}=4py 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.
기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식
y2=4px→y=mx+pm
x2=4py→y=mx−pm2
y2=4px
위의 방정식으로 주어진 포물선에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자.
직선이 포물선에 접하는 점의 좌표를 (x_{1}, y_{1})라고 하면
y21=4px1
y^{2}=4px에 음함수의 미분법을 사용하면
2y⋅dydx=4p
이때 접선의 기울기는 미분계수와 같으므로
my1=2p
p≠0이므로 m≠0
따라서 y1=2pm이므로
y^{2} = 4px에 y_{1}=2p/m을 대입하면
4p2m2=4px1
x1=pm2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y−2pm=m(x−pm2)
접선의 방정식을 정리해보자.
y=mx−pm+2pm
y=mx+pm
이러한 형태로 공식화하여 외우는 경우도 있다. 그러나 필자 개인적으로는 그냥 과정을 아는 것이 훨씬 편하다고 생각한다.
포물선 x^{2}=4py에 접하는 접선의 기울기가 주어졌을 때, 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.
앞에서도 언급했듯이 고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야한다. 아래는 미분을 사용하지 않고 접선의 방정식을 구하는 방법이다.
y2=4px
위의 방정식으로 주어진 포물선에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 잡아주자.
y=mx+b
y^{2}=4px에 y=mx+b를 대입하면
(mx+b)2=4px
m2x2+2mbx+b2=4px
m2x2+2(mb−2p)x+b2=0
포물선과 직선이 접하므로 판별식 D=0
이때 D4=(mb−2p)2−m2b2이므로
(mb−2p)2−m2b2=0
m2b2−4mpb+4p2−m2b2=0
4p2=4mpb
b=pm
따라서 구하는 접선의 방정식은
y=mx+pm
포물선 x^{2}=4py에 접하는 접선의 기울기가 주어졌을 때, 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.
포물선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식
접선의 방정식을 유도하기에 앞서 한 가지를 염두에 두면 접선의 방정식을 더욱 쉽게 구할 수 있다. y^{2}=4px 꼴의 포물선에서 꼭짓점의 x좌표와 접선이 지나는 포물선 밖의 한 점의 x좌표가 같으면, 그 경우 접선은 x축에 수직인 직선이 된다. 마찬가지로 x^{2}=4py 꼴의 포물선에서 꼭짓점의 y좌표와 접선이 지나는 포물선 밖의 한 점의 y좌표가 같으면, 그 경우 접선은 y축에 수직인 직선이 된다. 다음은 포물선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식을 유도하는 과정이다.
y2=4px
위의 방정식으로 주어진 포물선 밖의 한 점 P(a, b)을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.
포물선과 접선이 만나는 접점의 좌표를 Q(x_{1}, y_{1})라고 하면
y21=4px1
x1=y214p ⋯ ⓐ
또한 음함수의 미분법에 의하여
2y=4p⋅dxdy이므로
dxdy=y12p
따라서 접선의 방정식은
x−x1=y12p(y−y1)
이때 접선의 방정식이 점 P를 지나므로
a−x1=y12p(b−y1)
x1=y12p(y1−b)+a ⋯ ⓑ
ⓑ에 ⓐ를 대입하면
y21=4p{y12p(y1−b)+a}
y21=2y1(y1−b)+4ap
y21=2y21−2by1+4ap
y21−2by1+4ap=0
근의 공식에 의하여
y1=b±√b2−4ap
이때 y21=4px1이므로
x1=(b±√b2−4ap)24p
x1=b2±2b√b2−4ap+b2−4ap4p
x1=2b2−4ap±2b√b2−4ap4p
x1=b2−2ap±b√b2−4ap2p
따라서 구하는 접선의 방정식은
x−b2−2ap±b√b2−4ap2p=b±√b2−4ap2p{y−(b±√b2−4ap)}
여기서 볼 수 있듯이 이 경우에는 접선의 방정식을 구할 때 수를 대입하지 않고 문자로 치환할 경우, 식이 매우 더러워진다. 그러므로 이 경우에는 굳이 접선의 방정식을 구하는 공식을 외우지 말고 푸는 방법을 기억하자. 포물선 x^{2}=4py 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.
앞에서도 언급했듯이 고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야 한다. 이 또한 방법이 위와 비슷하므로 한번 생각해보길 바란다.
여기서 설명한 포물선들은 모두 꼭짓점이 원점 (0, 0)이므로, 이 유도과정은 다른 포물선에 일반화할 수 없다는 문제를 재기할 수도 있다. 그러나 이는 평행이동을 통하여 해결할 수 있으며, 평행이동을 하지 않더라도 동일한 방법으로 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선에 대하여 접선의 방정식을 찾아낼 수 있다.
근본적인 수학 탐구에는 마지막 종착점이 없으며 최초의 출발점도 없다.
-펠릭스 클라인
- 사실 좌표평면 상에 곡선을 그려 보면 알겠지만 이 경우, 다시 말해 포물선 y^{2}=4px에 접하는 접선의 경우에는 x축에 수직인 접선이 생길 수 있다. 이러한 접선의 방정식은 흔히 이용하는 형태인 y=ax+b의 꼴로는 표현이 불가능하다. 이 때문에 이렇게 직선을 잡아주는 것이다. 물론 이렇게 할 경우 y축에 수직인 직선을 표현할 수 없다고 반발할 수 있으나 포물선 y^{2}=4px에 접하는 접선 중 y축에 수직인 접선은 생기지 않는다. [본문으로]
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