기하와 벡터(8)

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 앞서 포물선과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보았다. 그 중 포물선과 직선이 한점에서 만나는 경우는 접하는 경우와 접하지 않는 경우 두 가지로 나뉜다. 그 중 접하는 경우에 대해 알아보자.

포물선에 접하는 접선

좌표평면 상에 나타낸 포물선과 접선

 포물선과 직선이 한 점에서 접하면서 만나면 이때의 직선을 접선이라고 한다. 포물선에서는 이러한 접선이 포물선 위의 한 점에서만 만난다. 여기서는 이러한 접선의 방정식을 유도하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 접선의 기울기와 접선이 지나는 한 점을 알면 된다. 접선의 기울기는 접선이 지나는 두 점을 통해 구할 수도 있지만, 이전에 어떤 도형에서 도형 위의 한 점에서 접하는 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 값이 같다고 하였다. 이를 이용하면 상황에 따라 조금 더 편하게 접선의 방정식을 구할 수 있다. 주로 나오는 유형에는 포물선 위의 한 점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 포물선 밖의 한 점이 주어진 경우가 있다.

포물선 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

포물선 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식
$$ y^{2} = 4px \to by = 4p { {x+a} \over {2} } $$
$$ x^{2} = 4py \to ax = 4p { {y+b} \over {2} } $$

$$ y^{2} = 4px $$

 위의 방정식으로 주어진 포물선 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

포물선의 방정식에 음함수의 미분법을 사용하면

$$ 2y = 4p \cdot { {dx} \over {dy} } \text{이므로} $$

-이처럼 y로 미분하는 이유는 아래의 각주 1에서 설명해 놓았다.-

$$ { {dx} \over {dy} } = { {y_{1}} \over {2p} } $$

여기서 dy/dx가 접선의 기울기가 되고, 접선이 점 P를 지나므로 구하는 접선의 방정식은

$$ { {y_{1}} \over {2p} } \left( y-y_{1} \right) = x-x_{1} $$

$$ y_{1} \left( y-y_{1} \right) = 2p \left( x-x_{1} \right) $$

$$ y_{1}y = 2p \left( x-x_{1} \right)+y_{1}^{2} $$

이때 점 P는 포물선 y^{2}=4px 위의 점이므로

$$ y_{1}^{2} = 4px_{1} $$

$$ \text{따라서 } y_{1}y = 2p \left( x-x_{1} \right)+4px_{1} $$

$$ y_{1}y = 2p \left( x+x_{1} \right) $$

$$ y_{1}y = 4p \cdot { {x+x_{1}} \over {2} } $$

 이러한 형태로 공식화하여 외우는 경우도 있다. 그러나 필자 개인적으로는 그냥 과정을 아는 것이 훨씬 편하다고 생각한다. 포물선 x^{2}=4py 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.

 고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야한다. 아래는 미분을 사용하지 않고 접선의 방정식을 구하는 방법이다.

$$ y^{2} = 4px $$

 앞서와 마찬가지로 위의 방정식으로 주어진 포물선 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})을 지나는 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 잡아주자.

$$ x-x_{1} = a \left( y-y_{1} \right) $$

이렇게 직선의 방정식을 잡아주면 기울기는 1/a가 된다. 우리는 이 a의 값을 구해줄 것이다.^[각주:1]

$$ x = a \left( y-y_{1} \right) +x_{1} $$

y^{2}=4px에 x=a( y-y_{1} )+x_{1}를 대입하면

$$ y^{2} = 4p \left\{ a \left( y-y_{1} \right) +x_{1} \right\} $$

$$ y^{2} -4pay +4pay_{1} -4px_{1} = 0 $$

두 도형이 접하므로 판별식 D=0이다. 이때,

$$ { {D} \over {4} } = 4p^{2}a^{2}-4pay_{1}+4px_{1} $$

이고, p≠0이므로

$$ pa^{2}-ay_{1}+x_{1} = 0 $$

$$ x_{1} = -pa^{2}+ay_{1} $$

$$ \text{이때 } y_{1}^{2} = 4px_{1} \text{이므로} $$

y_{1}^{2}=4px_{1}에 x_{1}=-pa^{2}+ay_{1}를 대입하면

$$ y_{1}^{2} = 4p \left( -pa^{2}+ay_{1} \right) $$

$$ y_{1}^{2} = -4p^{2}a^{2}+4pay_{1} $$

$$ y_{1}^{2}-4pay_{1} +4p^{2}a^{2} = 0 $$

$$ \left( y_{1} -2pa \right)^{2} = 0 $$

$$ \text{따라서 } a = { {y_{1}} \over {2p} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ x = { {y_{1}} \over {2p} } \left( y-y_{1} \right) +x_{1} $$

$$ y_{1} \left( y-y_{1} \right) = 2p \left( x-x_{1} \right) $$

$$ y_{1}y = 2p \left( x-x_{1} \right)+y_{1}^{2} $$

이때 점 P는 포물선 y^{2}=4px 위의 점이므로

$$ y_{1}^{2} = 4px_{1} $$

$$ \text{따라서 } y_{1}y = 2p \left( x-x_{1} \right)+4px_{1} $$

$$ y_{1}y = 2p \left( x+x_{1} \right) $$

$$ y_{1}y = 4p \cdot { {x+x_{1}} \over {2} } $$

 포물선 x^{2}=4py 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.

기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식

$$ y^{2} = 4px \to y = mx+{ {p} \over {m} } $$
$$ x^{2} = 4py \to y = mx-pm^{2} $$

$$ y^{2} = 4px $$

 위의 방정식으로 주어진 포물선에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자.

직선이 포물선에 접하는 점의 좌표를 (x_{1}, y_{1})라고 하면

$$ y_{1}^{2} = 4px_{1} $$

y^{2}=4px에 음함수의 미분법을 사용하면

$$ 2y \cdot { {dy} \over {dx} } = 4p $$

이때 접선의 기울기는 미분계수와 같으므로

$$ my_{1} = 2p $$

p≠0이므로 m≠0

$$ \text{따라서 } y_{1} = { {2p} \over {m} } \text{이므로} $$

y^{2} = 4px에 y_{1}=2p/m을 대입하면

$$ { {4p^{2}} \over {m^{2}} } = 4px_{1} $$

$$ x_{1} = { {p} \over {m^{2}} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ y-{ {2p} \over {m} } = m \left( x-{ {p} \over {m^{2}} } \right) $$

접선의 방정식을 정리해보자.

$$ y = mx-{ {p} \over {m} } +{ {2p} \over {m} } $$

$$ y = mx+{ {p} \over {m} } $$

 이러한 형태로 공식화하여 외우는 경우도 있다. 그러나 필자 개인적으로는 그냥 과정을 아는 것이 훨씬 편하다고 생각한다.

 포물선 x^{2}=4py에 접하는 접선의 기울기가 주어졌을 때, 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.

 앞에서도 언급했듯이 고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야한다. 아래는 미분을 사용하지 않고 접선의 방정식을 구하는 방법이다.

$$ y^{2} = 4px $$

 위의 방정식으로 주어진 포물선에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 잡아주자.

$$ y = mx+b $$

y^{2}=4px에 y=mx+b를 대입하면

$$ \left( mx+b \right)^{2} = 4px $$

$$ m^{2}x^{2}+2mbx+b^{2} = 4px $$

$$ m^{2}x^{2}+2 \left( mb-2p \right) x+b^{2} = 0 $$

포물선과 직선이 접하므로 판별식 D=0

$$ \text{이때 } { {D} \over {4} } = \left( mb-2p \right)^{2} -m^{2}b^{2} \text{이므로} $$

$$ \left( mb-2p \right)^{2} -m^{2}b^{2} = 0 $$

$$ m^{2}b^{2}-4mpb+4p^{2} -m^{2}b^{2} = 0 $$

$$ 4p^{2} = 4mpb $$

$$ b = { {p} \over {m} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ y = mx+{ {p} \over {m} } $$

 포물선 x^{2}=4py에 접하는 접선의 기울기가 주어졌을 때, 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.

포물선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식

 접선의 방정식을 유도하기에 앞서 한 가지를 염두에 두면 접선의 방정식을 더욱 쉽게 구할 수 있다. y^{2}=4px 꼴의 포물선에서 꼭짓점의 x좌표와 접선이 지나는 포물선 밖의 한 점의 x좌표가 같으면, 그 경우 접선은 x축에 수직인 직선이 된다. 마찬가지로 x^{2}=4py 꼴의 포물선에서 꼭짓점의 y좌표와 접선이 지나는 포물선 밖의 한 점의 y좌표가 같으면, 그 경우 접선은 y축에 수직인 직선이 된다. 다음은 포물선 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식을 유도하는 과정이다.

$$ y^{2} = 4px $$

 위의 방정식으로 주어진 포물선 밖의 한 점 P(a, b)을 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

포물선과 접선이 만나는 접점의 좌표를 Q(x_{1}, y_{1})라고 하면

$$ y_{1}^{2} = 4px_{1} $$

$$ x_{1} = { { y_{1}^{2} } \over {4p} } \text{  } \cdots \text{  ⓐ} $$

또한 음함수의 미분법에 의하여

$$ 2y = 4p \cdot { {dx} \over {dy} } \text{이므로} $$

$$ { {dx} \over {dy} } = { {y_{1}} \over {2p} } $$

따라서 접선의 방정식은

$$ x-x_{1} = { {y_{1}} \over {2p} } \left( y-y_{1} \right) $$

이때 접선의 방정식이 점 P를 지나므로

$$ a-x_{1} = { {y_{1}} \over {2p} } \left( b-y_{1} \right) $$

$$ x_{1} = { {y_{1}} \over {2p} } \left( y_{1}-b \right)+a \text{  } \cdots \text{  ⓑ} $$

ⓑ에 ⓐ를 대입하면

$$ y_{1}^{2} = 4p \left\{ { {y_{1}} \over {2p} } \left( y_{1}-b \right)+a \right\} $$

$$ y_{1}^{2} = 2y_{1} \left( y_{1}-b \right) +4ap $$

$$ y_{1}^{2} = 2y_{1}^{2} -2by_{1} +4ap $$

$$ y_{1}^{2} -2by_{1} +4ap = 0 $$

근의 공식에 의하여

$$ y_{1} = b \pm \sqrt{ b^{2}-4ap } $$

$$ \text{이때 } y_{1}^{2} = 4px_{1} \text{이므로} $$

$$ x_{1} = { { \left( b \pm \sqrt{ b^{2}-4ap } \right)^{2} } \over {4p} } $$

$$ x_{1} = { { b^{2} \pm 2b \sqrt{ b^{2}-4ap } +b^{2}-4ap } \over {4p} } $$

$$ x_{1} = { { 2b^{2}-4ap \pm 2b \sqrt{ b^{2}-4ap } } \over {4p} } $$

$$ x_{1} = { { b^{2}-2ap \pm b \sqrt{ b^{2}-4ap } } \over {2p} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ x-{ { b^{2}-2ap \pm b \sqrt{ b^{2}-4ap } } \over {2p} } = { {b \pm \sqrt{ b^{2}-4ap }} \over {2p} } \left\{ y- \left( b \pm \sqrt{ b^{2}-4ap } \right) \right\} $$

여기서 볼 수 있듯이 이 경우에는 접선의 방정식을 구할 때 수를 대입하지 않고 문자로 치환할 경우, 식이 매우 더러워진다. 그러므로 이 경우에는 굳이 접선의 방정식을 구하는 공식을 외우지 말고 푸는 방법을 기억하자. 포물선 x^{2}=4py 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식 또한 동일한 방법으로 구할 수 있다.

 앞에서도 언급했듯이 고등학교에서 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야 한다. 이 또한 방법이 위와 비슷하므로 한번 생각해보길 바란다.

여기서 설명한 포물선들은 모두 꼭짓점이 원점 (0, 0)이므로, 이 유도과정은 다른 포물선에 일반화할 수 없다는 문제를 재기할 수도 있다. 그러나 이는 평행이동을 통하여 해결할 수 있으며, 평행이동을 하지 않더라도 동일한 방법으로 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선에 대하여 접선의 방정식을 찾아낼 수 있다.

 

 

 

근본적인 수학 탐구에는 마지막 종착점이 없으며 최초의 출발점도 없다.

-펠릭스 클라인

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1. 사실 좌표평면 상에 곡선을 그려 보면 알겠지만 이 경우, 다시 말해 포물선 y^{2}=4px에 접하는 접선의 경우에는 x축에 수직인 접선이 생길 수 있다. 이러한 접선의 방정식은 흔히 이용하는 형태인 y=ax+b의 꼴로는 표현이 불가능하다. 이 때문에 이렇게 직선을 잡아주는 것이다. 물론 이렇게 할 경우 y축에 수직인 직선을 표현할 수 없다고 반발할 수 있으나 포물선 y^{2}=4px에 접하는 접선 중 y축에 수직인 접선은 생기지 않는다. [본문으로]