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좌표평면 상에 나타낸 여러 도형들은 위치에 따라 겹쳐지기도 하며 여러 관계를 만들어낸다. 이는 이차곡선도 예외는 아니다. 여기서 포물선과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보자.
포물선과 직선의 위치 관계
좌표평면 상에서 두 도형의 교점의 개수를 구하는 방법은 지극히 단순하다. 두 도형의 방정식을 연립하여 연립방정식의 해를 구하면 되는데, 우리는 xy 평면 위에서의 도형을 다루므로 x, y에 대한 연립방정식의 해를 구하면 된다. 포물선과 직선의 위치 관계에 대해 알아보기 위해 두 도형의 방정식을 연립해보자. 포물선의 방정식은 x, y에 대한 이차방정식이고, 직선의 방정식은 x, y에 대한 일차방정식이므로 두 도형의 방정식을 연립하면 연립이차방정식이 나오게 된다. 이를 풀어주었을 때 나오는 실근의 개수가 바로 두 도형의 교점의 개수가 된다. 다음 과정을 보며 교점의 개수에 따라 달라지는 조건에 대하여 알아보자.
먼저 좌표평면 상에서 일반적으로 사용할 수 있는 포물선이 필요하다. 이전에 다룬 포물선의 방정식은 모든 형태의 포물선을 설명할 수는 있으나, 위치가 고정되어 있어 본문에서 다루기에는 적합하지 않다. 이를 해결하기 위해 포물선을 평행이동 시켜주자. 다음은 초점의 좌표가 (p, 0)이고, 준선의 방정식이 x=-p인 포물선을 x축으로 x_{1}만큼, y축으로 y_{1}만큼 평행이동하여 만든 포물선의 방정식이다.
$$ \left( y-y_{1} \right)^{2} = 4p \left( x-x_{1} \right) \text{ } \left( p \ne 0 \right) \text{ } \cdots \text{ ①}$$
포물선에는 위처럼 준선이 x축에 수직인 경우만 있는 것이 아니다. 준선이 y축에 수직인 경우 또한 분명히 있다. 이 또한 생각해 주어야 한다. 다음은 초점의 좌표가 (0, p)이고, 준선의 방정식이 y=-p인 포물선을 x축으로 x_{1}만큼, y축으로 y_{1}만큼 평행이동하여 만든 포물선의 방정식이다.
$$ \left( x-x_{1} \right)^{2} = 4p \left( y-y_{1} \right) \text{ } \left( p \ne 0 \right) \text{ } \cdots \text{ ②} $$
다음으로는 일반적으로 사용할 수 있는 직선이 필요하다. 여기서는 편의를 위해 x축에 수직인 직선과 x축에 수직이 아닌 직선 두 가지를 사용할 것이다. 다음은 이 두 가지 직선의 방정식을 나타낸 것이다.
③. x축에 수직인 직선의 방정식
$$ x=k $$
④. x축에 수직이 아닌 직선의 방정식
$$ y = mx+n $$
포물선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하면 x, y에 대한 연립방정식을 만들 수 있다. 이때 적당히 대입해 정리해주면 x 또는 y에 대한 이차방정식이 나온다. 그러므로 나온 이차방정식에서 판별식 D를 사용하여 실근의 개수를 구할 수 있고, 이는 곧 교점의 개수와 연결된다. 판별식 D의 값이 양수이면 교점은 두 개이고, 음수이면 교점은 없으며, 0이면 교점은 하나이다. 또한 이차방정식에서 판별식의 값이 0인 경우 중근을 가지므로 이때의 교점에서는 포물선과 직선이 접한다.
포물선의 방정식 ①과 직선의 방정식 ③을 연립하는 경우
$$ \begin{cases} \left( y-y_{1} \right)^{2} = 4p \left( x-x_{1} \right) \\ x=k \end{cases} $$
위의 방정식에 아래의 방정식을 대입하면
$$ \left( y-y_{1} \right)^{2} = 4p \left( k-x_{1} \right) $$
$$ y^{2}-2y_{1}y+y_{1}^{2} = 4p \left( k-x_{1} \right) $$
$$ y^{2}-2y_{1}y+y_{1}^{2} -4p \left( k-x_{1} \right) = 0 $$
자. 이제 y에 대한 이차방정식이 만들어졌다. 이 방정식에서 판별식 D를 조사해보자.
$$ { {D} \over {4} } = y_{1}^{2} -\left\{ y_{1}^{2} -4p \left( k-x_{1} \right) \right\} = 4p \left( k-x_{1} \right) $$
교점의 개수가 2개인 경우
$$ p>0 \text{, } k>x_{1} $$
또는
$$ p<0 \text{, } k<x_{1} $$
교점의 개수가 1개인 경우
$$ k = x_{1} $$
교점의 개수가 0개인 경우
$$ p>0 \text{, } k<x_{1} $$
또는
$$ p<0 \text{, } k>x_{1} $$
포물선의 방정식 ①과 직선의 방정식 ④를 연립하는 경우
$$ \begin{cases} \left( y-y_{1} \right)^{2} = 4p \left( x-x_{1} \right) \\ y = mx+n \end{cases} $$
위의 방정식에 아래의 방정식을 대입하면
$$ \left( mx+n-y_{1} \right)^{2} = 4p \left( x-x_{1} \right) $$
$$ m^{2}x^{2} +n^{2}+y_{1}^{2} +2mnx-2my_{1}x-2ny_{1} = 4p \left( k-x_{1} \right) $$
$$ m^{2}x^{2} +2m \left( n-y_{1} \right) x +n^{2}+y_{1}^{2}-2ny_{1} -4p \left( k-x_{1} \right) = 0 $$
자. 이제 x에 대한 이차방정식이 만들어졌다. 이 방정식에서 판별식 D를 조사해보자.
$$ \begin{matrix} { {D} \over {4} } &=& m^{2} \left( n-y_{1} \right)^{2} -m^{2} \left\{ n^{2}+y_{1}^{2}-2ny_{1} -4p \left( k-x_{1} \right) \right\} \\ &=& m^{2} \left\{ n^{2}-2ny_{1}+y_{1}^{2} -n^{2}-y_{1}^{2}+2ny_{1} +4p \left( k-x_{1} \right) \right\} \\ &=& 4pm^{2} \left( k-x_{1} \right) \end{matrix} $$
교점의 개수가 2개인 경우
m^{2}≥0이므로
$$ p>0 \text{, } k>x_{1} $$
또는
$$ p<0 \text{, } k<x_{1} $$
교점의 개수가 1개인 경우
$$ m = 0 $$
이 경우 이차방정식이 아니게 되므로 예외적으로 포물선과 직선은 접하지 않고, 한 점에서 만난다.
또는
$$ k = x_{1} $$
교점의 개수가 0개인 경우
m^{2}≥0이므로
$$ p>0 \text{, } k<x_{1} $$
또는
$$ p<0 \text{, } k>x_{1} $$
포물선의 방정식 ②와 직선의 방정식 ③을 연립하는 경우
$$ \begin{cases} \left( x-x_{1} \right)^{2} = 4p \left( y-y_{1} \right) \\ x=k \end{cases} $$
위의 방정식에 아래의 방정식을 대입하면
$$ \left( k-x_{1} \right)^{2} = 4p \left( y-y_{1} \right) $$
$$ y-y_{1} = { {\left( k-x_{1} \right)^{2}} \over {4p} } $$
$$ y = { {\left( k-x_{1} \right)^{2}} \over {4p} }+y_{1} $$
따라서 이 경우에는 포물선과 직선이 항상 한 점에서 만나며, 접하지는 않는다.
포물선의 방정식 ②와 직선의 방정식 ④를 연립하는 경우
$$ \begin{cases} \left( x-x_{1} \right)^{2} = 4p \left( y-y_{1} \right) \\ y = mx+n \end{cases} $$
위의 방정식에 아래의 방정식을 대입하면
$$ \left( x-x_{1} \right)^{2} = 4p \left( mx+n-y_{1} \right) $$
$$ x^{2}-2x_{1}x+x_{1}^{2} = 4mpx +4p \left( n-y_{1} \right) $$
$$ x^{2}-2x_{1}x+x_{1}^{2} -4mpx-4p \left( n-y_{1} \right) = 0 $$
$$ x^{2}-2 \left( x_{1} +2mp \right)x +x_{1}^{2} -4p \left( n-y_{1} \right) = 0 $$
자. 이제 x에 대한 이차방정식이 만들어졌다. 이 방정식에서 판별식 D를 조사해보자.
$$ \begin{matrix} { {D} \over {4} } &=& \left( x_{1} +2mp \right)^{2} -\left\{ x_{1}^{2} -4p \left( n-y_{1} \right) \right\} \\ &=& x_{1}^{2}+4mpx_{1}+4m^{2}p^{2} -x_{1}^{2} +4p \left( n-y_{1} \right) \\ &=& 4mpx_{1}+4m^{2}p^{2} +4p \left( n-y_{1} \right) \\ &=& 4p \left( mx_{1}+mp +n-y_{1} \right) \end{matrix} $$
교점의 개수가 2개인 경우
$$ p>0 \text{, } mx_{1}+mp +n-y_{1} > 0 $$
또는
$$ p<0 \text{, } mx_{1}+mp +n-y_{1} < 0 $$
교점의 개수가 1개인 경우
$$ mx_{1}+mp +n-y_{1} = 0 $$
교점의 개수가 0개인 경우
$$ p>0 \text{, } mx_{1}+mp +n-y_{1} < 0 $$
또는
$$ p<0 \text{, } mx_{1}+mp +n-y_{1} > 0 $$
정리
포물선과 직선은 만나지 않거나, 한 점에서 만나거나, 서로 다른 두 점에서 만난다. 그 중 한 점에서 만나는 경우는 접하거나, 접하지 않는 두 경우가 있다. 그 중 포물선과 직선이 접하지 않으면서 한 점에서 만나는 경우는 포물선의 준선과 직선이 서로 수직인 경우1 뿐이다.
음수 곱하기 음수는 양수다. 그 이유를 따질 필요는 없다.
-오덴
- 포물선의 축과 직선이 서로 평행한 경우 또한 동일한 경우이다. [본문으로]
