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고등학교에서는 4가지 이차곡선에 대해 배운다. 여기에서 다룰 이차곡선은 포물선이다.
포물선
이차곡선 중에 포물선이라는 도형이 있다. 이 도형은 아마 중학교 물리 수업이나 중학교 이차함수 수업 중에 처음 접할 것이다. 그렇다. 이차함수 식으로 표현되는 도형이 바로 포물선이다. 포물선의 정의에 따라 이러한 형태가 나오게 된다. 포물선은 '한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 정점에 대하여 직선에서 이르는 거리와 정점에서 이르는 거리가 동일한 점들의 집합'으로 정의된다. 여기서 '한 직선'을 '포물선의 준선', '한 정점'을 '포물선의 초점'이라고 한다. 다음 그림을 보자.
이차함수에 대하여 배웠다면 포물선의 축과 꼭짓점이 무엇인지는 대충이나마 알 것이다. 포물선은 한 직선을 기준으로 하여 접으면 포물선의 곡선이 어긋나지 아니하고 완전히 포개어지는 직선이 항상 존재한다. 이를 '포물선의 대칭축' 또는 '포물선의 축'이라고 한다. 이때 축은 포물선의 초점을 지나면서 준선에 수직인 직선이 된다. 또한 준선에서 포물선 위의 한 점까지의 거리가 최소가 되게 하는 포물선 위의 점을 '포물선의 꼭짓점'이라 한다. 이때 꼭짓점은 포물선과 포물선의 대칭축과의 교점이 된다.
포물선의 방정식
초점의 좌표가 (p, 0), 준선의 방정식이 x=-p인 경우
$$ y^{2} = 4px $$
초점의 좌표가 (0, p), 준선의 방정식이 y=-p인 경우
$$ x^{2} = 4py $$
이전에 타원에서도 해보았듯이 정의를 이용하여 포물선의 방정식을 유도해보자. 다음은 준선이 x축에 수직인 경우의 포물선의 방정식을 유도하는 과정이다.
초점 F의 좌표를 (p, 0), 준선의 방정식이 x=-p (p≠0)라고 할 때, (선분 PF의 길이)=(선분 PH의 길이)인 점 P의 좌표를 (x, y)라 하자. 이때, 점 H는 점 P에서 준선에 내린 수선의 발이다. 따라서 점 H의 좌표는 (-p, y)가 된다.
$$ \text{그러므로 } \overline{PF} = \sqrt{ \left( x-p \right)^{2}+y^{2} } \text{, } \overline{PH} = \left| x+p \right| $$
$$ \text{이때, } \overline{PF} = \overline{PH} \text{이므로} $$
$$ \sqrt{ \left( x-p \right)^{2}+y^{2} } = \left| x+p \right| $$
등식의 양변을 제곱하면
$$ \left( x-p \right)^{2}+y^{2} = \left( x+p \right)^{2} $$
$$ x^{2}-2px+p^{2} +y^{2} = x^{2}+2px+p^{2} $$
$$ y^{2} = 4px $$
이 방정식이 준선이 x축에 수직인 경우의 포물선의 방정식이다. 이때 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이며, 포물선의 축의 방정식은 y=0가 된다. 준선이 y축 위에 있을 때도 같은 방법으로 유도 가능하다. 다음은 준선이 y축 위에 있는 포물선의 방정식을 유도하는 과정이다.
초점 F의 좌표를 (0, p), 준선의 방정식이 y=-p (p≠0)라고 할 때, (선분 PF의 길이)=(선분 PH의 길이)인 점 P의 좌표를 (x, y)라 하자. 이때, 점 H는 점 P에서 준선에 내린 수선의 발이다. 따라서 점 H의 좌표는 (x, -p)가 된다.
$$ \text{그러므로 } \overline{PF} = \sqrt{ \left( y-p \right)^{2}+x^{2} } \text{, } \overline{PH} = \left| y+p \right| $$
$$ \text{이때, } \overline{PF} = \overline{PH} \text{이므로} $$
$$ \sqrt{ \left( y-p \right)^{2}+x^{2} } = \left| y+p \right| $$
등식의 양변을 제곱하면
$$ \left( y-p \right)^{2}+x^{2} = \left( y+p \right)^{2} $$
$$ y^{2}-2py+p^{2} +x^{2} = y^{2}+2py+p^{2} $$
$$ x^{2} = 4py $$
이 방정식이 준선이 y축에 수직인 경우의 포물선의 방정식이다. 이때 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이며, 포물선의 축의 방정식은 x=0가 된다. 위 두 방정식을 평행이동하여 좌표평면 상에서 다양한 포물선의 방정식을 표현할 수 있다.
기하학은 가장 오래된 물리학의 한 분야이다.
-아인슈타인
