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기하는 크게 이차곡선과 벡터로 나눌 수 있다. 먼저 이차곡선에 대해 살펴보자.
이차곡선
이차곡선이란 xy 평면에서 도형의 방정식이 다음과 같이 x, y에 대한 이차식의 꼴로 만들어지는 도형을 말한다.
$$ Ax^{2}+By^{2}+Cxy+ax+by+D=0 $$
이때 A, B, C, a, b, D는 모두 상수이고, A, B, C 모두 0이 될 수는 없다. 고등학교에서 다루는 이차곡선의 종류는 4가지로 원, 타원, 포물선, 쌍곡선에 대해 배우게 된다. 먼저 원에 대해 알아보자.
원
이전에 올린 글1에서도 다루었지만 원이란 '한 평면 위에서 한 점에서 이르는 거리가 같은 점들의 집합'이다. 이때 한 점을 '원의 중심', 원의 중심에서 이르는 거리를 '원의 반지름'이라 한다. 원의 중심의 좌표가 (0, 0), 원의 반지름이 r인 원의 방정식을 유도해보자.
(0, 0)에서 이르는 거리가 r인 점을 P(x, y)라 하면
$$ r = \sqrt{ x^{2}+y^{2} } \text{ } \left( \because \text{두 점 사이의 거리} \right) $$
양변을 제곱하여 정리하면
$$ x^{2}+y^{2} = r^{2} $$
이것이 기본적인 원의 방정식의 형태가 된다. 이를 x축의 방향으로 p, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면 다음과 같은 원의 방정식을 얻을 수 있다.
$$ \left( x-p \right)^{2}+\left( y-q \right)^{2} = r^{2} $$
이렇게 얻어낸 방정식은 다음의 형태로 전개할 수 있다.
$$ x^{2}+y^{2}+ax+by+D=0 $$
위 세 가지 방정식 모두 원의 방정식이며 상황에 따라 필요한 형태를 사용하면 된다. 원에 대한 자세한 내용은 <원의 성질> 시리즈에서 참고하길 바란다.
신은 솜씨 좋은 기하학자와 같다.
-토마스 브라운
- 원의 성질 中 원, 원주각, 원주각의 성질 [본문으로]
