기하와 벡터(5)

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 고등학교에서는 이차곡선 중 4가지만을 다룬다. 여기서는 그 중 쌍곡선에 대하여 다룰 것이다.

쌍곡선

xy 좌표평면 상에 나타낸 쌍곡선. 쌍곡선의 두 초점 또한 함께 나타내었다.

 기억나지 않을지 모르지만 쌍곡선이라는 용어를 아마 들어보기는 했을 것이다. 쌍곡선의 대표적인 예는 중학생 때 배우는 xy 좌표평면 상에 나태낸 반비례 함수의 그래프와 고등학교 1학년 '수학^[각주:1]' 시간에 배우는 xy 좌표평면 상에 나타낸 유리함수의 그래프 또한 쌍곡선이다. 그렇다면 쌍곡선의 정의는 무엇일까? 쌍곡선은 '두 정점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합'으로 정의된다. 이때 두 정점을 '쌍곡선의 두 초점'이라고 한다. 또한 '쌍곡선의 두 초점의 중점'을 '쌍곡선의 중점'이라고 한다. 쌍곡선은 대칭인 두 곡선으로 이루어진다. 다음의 그림을 보자.

쌍곡선의 점근선과 주축을 쌍곡선과 함께 나타내었다. 중앙은 초점과 점근선을 함께, 우측은 초점과 점근선, 주축을 함께 나타내었다. 

 쌍곡선은 앞서 알아본 3가지 이차곡선 원, 타원, 포물선과 다른 특이한 점이 두가지 있다. 쌍곡선은 특이하게 다은 이차곡선과 달리 두 개의 곡선으로 이루어진다. 쌍곡선의 서로 다른 두 곡선 위에 각각 점이 하나씩 있을 때, 두 점 사이의 거리가 최소가 되도록 하는 두 점의 위치가 존재한다. 이때 두 점을 이은 선분을 '쌍곡선의 주축'이락 한다. 쌍곡선의 주축의 길이는 항상 쌍곡선을 정의하는 '두 초점으로부터의 거리의 차'와 같다. 또한 특이하게도 쌍곡선은 점근선을 갖는다. 쌍곡선이 두 개의 곡선으로 이루어져 있듯이 쌍곡선의 점근선 또한 두 개이다.

쌍곡선의 방정식

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1$$

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = -1$$

 지금부터 쌍곡선의 방정식을 유도해보자. 다음은 쌍곡선의 주축이 x축에 평행한 경우의 쌍곡선의 방정식을 유도하는 과정이다.

 두 초점 F, F'의 좌표가 각각 (c, 0), (-c, 0)이고, 두 초점으로부터의 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식을 유도해보자. 두 초점에서 거리의 차가 2a가 되도록 하는 점을 P(x, y)라고 하면

$$\overline{PF} = \sqrt{ \left( x-c \right)^{2}+y^{2} } \text{, } \overline{PF^{\prime}} = \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} }$$

$$\text{이때 } \left| \overline{PF}-\overline{PF^{\prime}} \right| = 2a \text{이므로}$$

$$\left| \sqrt{ \left( x-c \right)^{2}+y^{2} }-\sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } \right| = 2a$$

$$\sqrt{ \left( x-c \right)^{2}+y^{2} }-\sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } = \pm 2a$$

$$\sqrt{ \left( x-c \right)^{2}+y^{2} } = \pm 2a + \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} }$$

등식의 양변을 제곱하면

$$\left( x-c \right)^{2}+y^{2} = \left( \pm 2a + \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } \right)^{2}$$

$$x^{2}-2cx+c^{2} +y^{2} = 4a^{2} \pm 4a \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } +\left( x+c \right)^{2}+y^{2}$$

$$x^{2}-2cx+c^{2} +y^{2} = 4a^{2} \pm 4a \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } +x^{2}+2cx+c^{2} +y^{2}$$

$$-2cx = 4a^{2} \pm 4a \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} } +2cx$$

$$-4cx-4a^{2} = \pm 4a \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} }$$

$$-cx-a^{2} = \pm a \sqrt{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} }$$

등식의 양변을 제곱하면

$$\left( -cx-a^{2} \right)^{2} = a^{2} \left\{ \left( x+c \right)^{2}+y^{2} \right\}$$

$$c^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{4} = a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2} +a^{2}y^{2}$$

$$c^{2}x^{2}+a^{4} = a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2} +a^{2}y^{2}$$

$$\left( c^{2}-s^{2} \right)x^{2} -a^{2}y^{2} = -a^{4}+a^{2}c^{2}$$

$$\left( c^{2}-a^{2} \right)x^{2} -a^{2}y^{2} = a^{2} \left( c^{2}-a^{2} \right)$$

c^{2}-a^{2}=b^{2}으로 두면

$$b^{2}x^{2} -a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}$$

등식의 양변을 a^{2}b^{2}으로 나누면

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} }-{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1$$

 이 방정식이 쌍곡선의 주축이 x축에 평행한 경우의 쌍곡선의 방정식이다. 이 경우 주축의 길이는 2a이며, 점근선의 방정식은 y= ± { {a} over {b} }x이다. 이 쌍곡선이 x축과 만나는 교점의 좌표는 (a, 0), (-a, 0)이며, y축과는 만나지 않는다. 쌍곡선의 주축이 y축에 평행한 경우의 쌍곡선의 방정식 또한 위와 같은 방식으로 유도할 수 있다. 다음은 쌍곡선의 주축이 y축에 평행한 경우의 쌍곡선의 방정식을 유도하는 과정이다.

 두 초점 F, F'의 좌표가 각각 (0, c), (0, -c)이고, 두 초점으로부터의 거리의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식을 유도해보자. 두 초점에서 거리의 차가 2b가 되도록 하는 점을 P(x, y)라고 하면

$$\overline{PF} = \sqrt{ \left( y-c \right)^{2}+x^{2} } \text{, } \overline{PF^{\prime}} = \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} }$$

$$\text{이때 } \left| \overline{PF}-\overline{PF^{\prime}} \right| = 2b \text{이므로}$$

$$\left| \sqrt{ \left( y-c \right)^{2}+x^{2} }-\sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } \right| = 2b$$

$$\sqrt{ \left( y-c \right)^{2}+x^{2} }-\sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } = \pm 2b$$

$$\sqrt{ \left( y-c \right)^{2}+x^{2} } = \pm 2b + \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} }$$

등식의 양변을 제곱하면

$$\left( y-c \right)^{2}+x^{2} = \left( \pm 2b + \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } \right)^{2}$$

$$y^{2}-2cy+c^{2} +x^{2} = 4b^{2} \pm 4b \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } +\left( y+c \right)^{2}+x^{2}$$

$$y^{2}-2cy+c^{2} +x^{2} = 4b^{2} \pm 4b \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } +y^{2}+2cy+c^{2} +x^{2}$$

$$-2cy = 4b^{2} \pm 4b \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} } +2cy$$

$$-4cy-4b^{2} = \pm 4b \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} }$$

$$-cy-b^{2} = \pm b \sqrt{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} }$$

등식의 양변을 제곱하면

$$\left( -cy-b^{2} \right)^{2} = b^{2} \left\{ \left( y+c \right)^{2}+x^{2} \right\}$$

$$c^{2}y^{2}+2b^{2}cy+b^{4} = b^{2}y^{2}+2b^{2}cy+b^{2}c^{2} +b^{2}x^{2}$$

$$c^{2}y^{2}+b^{4} = b^{2}y^{2}+b^{2}c^{2} +b^{2}x^{2}$$

$$b^{2}x^{2}-\left( c^{2}-b^{2} \right)y^{2} = b^{4}-b^{2}c^{2}$$

$$b^{2}x^{2}-\left( c^{2}-b^{2} \right)y^{2} = -b^{2} \left( c^{2}-b^{2} \right)$$

c^{2}-b^{2}=a^{2}으로 두면

$$b^{2}x^{2} -a^{2}y^{2} = -a^{2}b^{2}$$

등식의 양변을 a^{2}b^{2}으로 나누면

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} }-{ {y^{2}} \over {b^{2}} } = -1$$

 이 방정식이 쌍곡선의 주축이 y축에 평행한 경우의 쌍곡선의 방정식이다. 이 경우 주축의 길이는 2b이며, 점근선의 방정식은 y= ± { {a} over {b} }x이다. 또한 이 쌍곡선이 y축과 만나는 교점의 좌표는 (0, b), (0, -b)이며, x축과는 만나지 않는다. 이 두 쌍곡선의 방정식과 다른 꼴의 방정식으로 쌍곡선을 나타낼 수 있다.

$$xy=k \text{  } \left( k \text{는 상수} \right)$$

 이 방정식 또한 쌍곡선을 나타내는 방정식이다. 이 쌍곡선은 x축과 y축을 점근선으로 갖는다. 이 세 가지 형태의 쌍곡선의 방정식을 기본 형태로 하여 평행이동을 통해 다양한 쌍곡선을 나타낼 수 있다.

 

 

 

대수학은 글로 쓴 기하학이고, 기하학은 그림으로 그린 대수학이다.

-조지 폴리아

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1. 2015 교육과정 中 고등학교 수학 교과. 교과명은 수학이다. 흔히 수학(상), 수학(하)로 알려져 있다. [본문으로]