기하와 벡터(10)

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 앞서 타원과 직선의 위치 관계에 대하여 알아보았다. 그 중 타원과 직선이 접하는 경우의 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아볼 것이다.

타원에 접하는 접선

좌표평면 상에 나타낸 타원과 접선

 타원과 직선이 한 점에서 접하면서 만나면 이때의 직선을 접선이라고 한다. 타원에서는 이러한 접선이 타원 위의 한 점에서만 만난다. 여기서는 이러한 접선의 방정식을 유도하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 접선의 기울기와 접선이 지나는 한 점을 알면 된다. 접선의 기울기는 접선이 지나는 두 점을 통해 구할 수도 있지만, 이전에 어떤 도형에서 도형 위의 한 점에서 접하는 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 값이 같다고 하였다. 이를 이용하면 상황에 따라 조금 더 편하게 접선의 방정식을 구할 수 있다. 주로 나오는 유형에는 타원 위의 한 점이 주어진 경우, 기울기가 주어진 경우, 타원 밖의 한 점이 주어진 경우가 있다.

타원 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

타원 위의 점 P(p, q)에서의 접선의 방정식
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \to \frac{px}{a^{2}} +\frac{qy}{b^{2}} = 1 $$

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$

 위의 방정식으로 주어진 타원 위의 한 점 P(x_{1}, y_{1})를 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

매개변수 t를 활용해 타원의 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ x = a \sin{t} \text{, } y = b \cos{t} \text{ } \left( 0 \le t < 2 \pi \right) \text{  } \left( \because \sin^{2}{t}+\cos^{2}{t} = 1 \right) $$

그러므로 점 P를 나타내는 매개변수 t의 값을 t_{1}이라 하면

$$ x_{1} = a \sin_{t_{1}} \text{, } y_{1} = b \cos_{t_{1}} $$

이때 타원의 방정식을 매개변수 t에 대하여 미분하면

$$ \frac{dx}{dt} = a \cos{t} \text{, } \frac{dy}{dt} = -b \sin{t} \text{이므로} $$

점 P에서의 미분계수는

$$ \frac{dx}{dt} = a \cos{t_{1}} = \frac{ay_{1}}{b} \text{,} $$

$$ \frac{dy}{dt} = -b \sin{t_{1}} = -\frac{bx_{1}}{a} $$

자, 이제 미분계수를 구했으니 접선의 방정식을 구할 수 있다. 미분계수는 곧 기울기와 값이 같으므로, 타원 위의 점 P를 지나는 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$ \frac{ay_{1}}{b} \left( y-y_{1} \right) = -\frac{bx_{1}}{a} \left( x-x_{1} \right) $$

이대로 식을 놔두어도 되지만 보기에 예쁘지 않다. 식을 정리해보자.

$$ a^{2}y_{1} \left( y-y_{1} \right) = -b^{2}x_{1} \left( x-x_{1} \right) $$

$$ a^{2}y_{1}y -a^{2}y_{1}^{2} = -b^{2}x_{1}x +b^{2}x_{1}^{2} $$

$$ a^{2}y_{1}y +b^{2}x_{1}x = b^{2}x_{1}^{2} +a^{2}y_{1}^{2} $$

$$ \frac{x_{1}x}{a^{2}} +\frac{y_{1}y}{b^{2}} = \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} +\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} $$

이때, 점 P는 타원 위의 한 점이므로

$$ \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} +\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1 $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ \frac{x_{1}x}{a^{2}} +\frac{y_{1}y}{b^{2}} = 1 $$

여기서 눈치 챈 독자들도 있을 것이다. 이 경우 접선의 방정식의 형태가 포물선과 비슷한 것이 있다는 것을. 이에 대한 설명은 쌍곡선의 접선의 방정식 이후에 다룰 것이다.

 이전에 <접선의 방정식 - 포물선의 접선>에서 언급한 바와 같이 고등학교 수학 중 '기하'라는 과목은 미적분을 이수하지 않아도 배울 수 있는 과목이다. 즉, 미분을 쓰지 않고도 접선의 방정식을 구할 수 있는 방법이 있어야 한다. 포물선에서와 마찬가지로 타원에서도 적당한 직선^[각주:1]을 잡아주고 대입을 통해 구해주면 된다. 직접 한번 해보길 바란다.

기울기가 주어진 경우의 접선의 방정식

기울기가 m인 접선의 방정식
$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \to y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2} +b^{2} } $$

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$

 위의 방정식으로 주어진 타원에서 기울기가 m인 접선의 방정식을 구해보자. 먼저 접선의 방정식을 다음과 같이 두자.

$$ y = mx+n $$

타원의 방정식과 접선의 방정식을 연립하면

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{ \left( mx+n \right)^{2} }{b^{2}} = 1 $$

$$ b^{2}x^{2} +a^{2} \left( mx+n \right)^{2} = a^{2}b^{2} $$

$$ b^{2}x^{2} +a^{2}m^{2}x^{2} +2a^{2}mnx +a^{2}n^{2} = a^{2}b^{2} $$

$$ \left( a^{2}m^{2} +b^{2} \right) x^{2} +2a^{2}mnx +a^{2}n^{2} -a^{2}b^{2} = 0 $$

자, 이제 x에 대한 이차방정식이 나왔다. 접선의 방정식을 구하기 위해서는 이 이차방정식이 중근이 나와야 하므로 판별식 D=0이다.

$$ \text{이때 } \frac{D}{4} = a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{2}m^{2} +b^{2} \right) \left( a^{2}n^{2} -a^{2}b^{2} \right) \text{이므로} $$

$$ a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{2}m^{2} +b^{2} \right) \left( a^{2}n^{2} -a^{2}b^{2} \right) = 0 $$

$$ a^{4}m^{2}n^{2} -\left( a^{4}m^{2}n^{2} -a^{4}b^{2}m^{2} +a^{2}b^{2}n^{2} -a^{2}b^{4} \right) = 0 $$

$$ a^{4}b^{2}m^{2} -a^{2}b^{2}n^{2} +a^{2}b^{4} = 0 $$

이때 a^{2}>0, b^{2}>0이므로

$$ a^{2}m^{2} -n^{2} +b^{2} = 0 $$

$$ n^{2} = a^{2}m^{2} +b^{2} $$

$$ n = \pm \sqrt{ a^{2}m^{2} +b^{2} } $$

따라서 구하는 접선의 방정식은

$$ y = mx \pm \sqrt{ a^{2}m^{2} +b^{2} } $$

이 접선의 방정식을 공식으로 외워도 된다. 매번 유도하기는 귀찮으니까. 다만 필자 개인적으로는 공식을 외우지 않고, 접선의 방정식을 유도하는 과정을 반복적으로 학습하는게 더 좋다고 본다.

타원 밖의 한 점을 지나는 접선의 방정식

$$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 $$

 위의 방정식으로 주어진 타원 밖의 한 점 P(p, q)를 지나는 접선의 방정식을 구해보자.

 타원과 접선 간의 접점을 Q(x_{1}, y_{1})라고 하면 접선의 방정식은

$$ \frac{x_{1}x}{a^{2}} +\frac{y_{1}y}{b^{2}} = 1 $$

점 P가 접선 위에 있으므로

$$ \frac{ x_{1}p }{a^{2}} +\frac{y_{1}q}{b^{2}} = 1 $$

$$ \frac{x_{1}p }{a^{2}} = 1 -\frac{y_{1}q}{b^{2}} $$

$$ px_{1} = a^{2} \left( 1 -\frac{y_{1}q}{b^{2}} \right) \text{  } \cdots \text{  ①} $$

점 Q가 타원 위에 있으므로

$$ \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} +\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1 $$

$$ \frac{p^{2}x_{1}^{2}}{a^{2}} +\frac{p^{2}y_{1}^{2}}{b^{2}} = p^{2} \text{  } \cdots \text{  ②} $$

②에 ①을 대입하면

$$ \frac{1}{a^{2}} \cdot a^{4} \left( 1 -\frac{y_{1}q}{b^{2}} \right)^{2} +\frac{p^{2}y_{1}^{2}}{b^{2}} = p^{2} $$

$$ a^{2} \left( 1 -\frac{y_{1}q}{b^{2}} \right)^{2} +\frac{p^{2}y_{1}^{2}}{b^{2}} = p^{2} $$

$$ a^{2} \left( b^{2} -y_{1}q \right)^{2} +b^{2}p^{2}y_{1}^{2} = p^{2}b^{4} $$

$$ a^{2}b^{4} -2a^{2}b^{2}y_{1}q +a^{2}y_{1}^{2}q^{2} +b^{2}p^{2}y_{1}^{2} = p^{2}b^{4} $$

$$ \left( a^{2}q^{2} +b^{2}p^{2} \right) y_{1}^{2} -2a^{2}b^{2}qy_{1} +a^{2}b^{4} -p^{2}b^{4} = 0 $$

근의 공식에 의하여

$$ y_{1} = \frac{ a^{2}b^{2}q \pm \sqrt{ a^{4}b^{4}q^{2}- \left( a^{2}q^{2} +b^{2}p^{2} \right) \left( a^{2}b^{4} -p^{2}b^{4} \right) } }{ a^{2}q^{2} +b^{2}p^{2} } $$

y_{1}을 구하는 것과 마찬가지로 x_{1}을 구하고 접선의 방정식을 구하면 된다.

 

 

 

지적인 노력에 대해 상을 준다면 그 가치가 떨어진다고 생각한다.

-패러데이

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1. 직선의 방정식을 p( x-x_{1} )+q( y-y_{1} ) = 0 꼴로 잡아주는게 임의의 직선을 나타낼 수 있어서 좋다. 물론 y=mx+n 꼴로 잡아주어도 상관없다. 다만 이 경우 x축에 수직인 직선은 표현할 수 없다는 단점이 있다. 그래도 어떻게 직선의 방정식을 잡아주든 딱히 문제는 없으므로 편한 대로 하면 된다. [본문으로]