기하와 벡터(13)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 지금까지 여러 이차곡선에 접하는 접선의 방정식을 유도하였다. 이 중 이차곡선 위의 점 P(x_{1}, y_{1})에서 접하는 접선의 방정식에 대하여 알아보자.

이차곡선 위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식

원

$$ x^{2} +y^{2}= r^{2} \to x_{1}x +y_{1}y = r^{2} $$

포물선

$$ y^{2} = 4px \to y_{1}y = 4p \frac{ x+x_{1} }{ 2 } $$

$$ x^{2} = 4py \to x_{1}x = 4p \frac{ y+y_{1} }{ 2 } $$

타원

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } +\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1 \to \frac{ x_{1}x }{ a^{2} } +\frac{ y_{1}y }{ b^{2} } = 1 $$

쌍곡선

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } -\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = 1 \to \frac{ x_{1}x }{ a^{2} } -\frac{ y_{1}y }{ b^{2} } = 1 $$

$$ \frac{ x^{2} }{ a^{2} } -\frac{ y^{2} }{ b^{2} } = -1 \to \frac{ x_{1}x }{ a^{2} } -\frac{ y_{1}y }{ b^{2} } = -1 $$

 이를 보면 무언가 규칙이 보이지 않는가? 이차곡선 위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식을 구하는 방법은 매우 간단히 정리할 수 있다. 위를 보면 이차곡선의 방정식에 x^{2}, y^{2}에는 x_{1}x, y_{1}y를, x, y에는 {x+x_{1}}/2, {y+y_{1}}/2를 대입하면 접선의 방정식이 나오는 것을 볼 수 있다. 그러므로 이차곡선 위의 점 P(x_{1}, y_{1})에서 접하는 접선을 구할 때는 변수에 다음과 같이 대입해주면 된다.

$$ x^{2} \to x_{1}x $$

$$ y^{2} \to y_{1}y $$

$$ x \to \frac{x+x_{1}}{2} $$

$$ y \to \frac{x+x_{1}}{2} $$

 

 

 

자연이 상대적으로 낮은 수준의 수학 공식으로 표현될 수 있다는 사실은 정말로 놀랍고 축복받은 일이다.

-루돌프 카르냅

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