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흔히 우리는 정적분을 할 때, 미적분학의 기본정리를 근거로 하여 부정적분을 구한 뒤 윗끝과 아랫끝의 값을 대입하는 방법을 사용한다. 그러나 부정적분을 쉽게 알 수 없을 경우에는 다른 방법을 사용하여 정적분의 값을 구해야 한다. 본문에서는 그 중 한 가지 방법을 소개하고자 한다. 정적분의 값을 어떤 문자로 잡아준 뒤, 그 문자로 정리된 방정식을 만들어 정적분의 값을 도출하는 방법이다. 본문에서 다룰 적분은 ln(1+tan x)와 ln sin x의 적분이다.
∫π40ln(1+tanx)dx
이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln(1+tan x)를 적분하는 방법이다.
∫π40ln(1+tanx)dx=A라고 하자.
x=π/4-t라고 두면 t=π/4-x, dx/dt=-1이므로
∫π40ln(1+tanx)dx=−∫0π4ln{1+tan(π4−t)}dt
이때, tanπ4−t=tanπ4−tant1+tanπ4tant=1−tant1+tant이므로
∫0π4ln{1+tan(π4−t)}dt=∫0π4ln(1+1−tant1+tant)dt
=∫0π4ln21+tantdt
=−∫π40{ln2−ln(1+tant)}dt
=∫π40{ln(1+tant)−ln2}dt
=∫π40ln(1+tant)dt−∫π40ln2dt
=A−[tln2]π40
=A−π4ln2
이때, ∫π40ln(1+tanx)dx=−∫0π4ln{1+tan(π4−t)}dt이므로
A=π4ln2−A
∴A=π8ln2
∫π20lnsinxdx
이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln sin x를 적분하는 방법이다.
∫π20lnsinxdx=A라고 하자.
x=π/2-t라고 두면 t=π/2-x, dx/dt=-1이므로
∫π20lnsinxdx=−∫0π2lnsin(π2−t)dt=∫π20lncostdt
따라서 ∫π20lncostdt=A이므로
∫π20lnsintdt+∫π20lncostdt=2A
∫π20lnsintdt+∫π20lncostdt=∫π20(lncost+lnsint)dt=∫π20lnsintcostdt
이때, sin2t=2sintcost이므로
∫π20lnsintcostdt=∫π20lnsin2t2dt
lnab=lna−lnb이므로
∫π20lnsin2t2dt=∫π20(lnsin2t−ln2)dt=∫π20lnsin2tdt−π2ln2
따라서 2A=∫π20lnsin2tdt−π2ln2
u=2t라고 두면, du/dt=2이므로
∫π20lnsin2tdt=12∫π0lnsinudu=12∫π20lnsinudu+12∫ππ2lnsinudu
u=π-v라고 두면 v=π-u, du/dv=-1이므로
∫ππ2lnsinudu=−∫0π2lnsin(π−v)dv=∫π20lnsinvdv=A
따라서 ∫π20lnsin2tdt=A2+A2=A이므로
2A=A−π2ln2
∴A=−π2ln2
위처럼 정적분의 값을 문자로 치환하는 방법을 사용하면 부정적분을 구하기 힘든 경우에도 정적분의 값을 쉽게 구할 수 있을 수 있다. 물론 이 방법으로 구하기 힘든 경우도 있으니, 정적분할 때 이 방법을 사용한다고 항상 값을 구할 수 있는 것은 아니다.
더 이상 가정이란 없다. 우리는 계산한다. 그러나 이때 우리는 계산할 수 있다는 가정을 먼저 해야 한다.
-니체
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