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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(45)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 흔히 우리는 정적분을 할 때, 미적분학의 기본정리를 근거로 하여 부정적분을 구한 뒤 윗끝과 아랫끝의 값을 대입하는 방법을 사용한다. 그러나 부정적분을 쉽게 알 수 없을 경우에는 다른 방법을 사용하여 정적분의 값을 구해야 한다. 본문에서는 그 중 한 가지 방법을 소개하고자 한다. 정적분의 값을 어떤 문자로 잡아준 뒤, 그 문자로 정리된 방정식을 만들어 정적분의 값을 도출하는 방법이다. 본문에서 다룰 적분은 ln(1+tan x)와 ln sin x의 적분이다.

π40ln(1+tanx)dx

 이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln(1+tan x)를 적분하는 방법이다.

π40ln(1+tanx)dx=A라고 하자.

x=π/4-t라고 두면 t=π/4-x, dx/dt=-1이므로

π40ln(1+tanx)dx=0π4ln{1+tan(π4t)}dt

이때, tanπ4t=tanπ4tant1+tanπ4tant=1tant1+tant이므로

0π4ln{1+tan(π4t)}dt=0π4ln(1+1tant1+tant)dt

=0π4ln21+tantdt

=π40{ln2ln(1+tant)}dt

=π40{ln(1+tant)ln2}dt

=π40ln(1+tant)dtπ40ln2dt

=A[tln2]π40

=Aπ4ln2

이때, π40ln(1+tanx)dx=0π4ln{1+tan(π4t)}dt이므로

A=π4ln2A

A=π8ln2

π20lnsinxdx

 이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln sin x를 적분하는 방법이다.

π20lnsinxdx=A라고 하자.

x=π/2-t라고 두면 t=π/2-x, dx/dt=-1이므로

π20lnsinxdx=0π2lnsin(π2t)dt=π20lncostdt

따라서 π20lncostdt=A이므로

π20lnsintdt+π20lncostdt=2A

π20lnsintdt+π20lncostdt=π20(lncost+lnsint)dt=π20lnsintcostdt

이때, sin2t=2sintcost이므로

π20lnsintcostdt=π20lnsin2t2dt

lnab=lnalnb이므로

π20lnsin2t2dt=π20(lnsin2tln2)dt=π20lnsin2tdtπ2ln2

따라서 2A=π20lnsin2tdtπ2ln2

u=2t라고 두면, du/dt=2이므로

π20lnsin2tdt=12π0lnsinudu=12π20lnsinudu+12ππ2lnsinudu

u=π-v라고 두면 v=π-u, du/dv=-1이므로

ππ2lnsinudu=0π2lnsin(πv)dv=π20lnsinvdv=A

따라서 π20lnsin2tdt=A2+A2=A이므로

2A=Aπ2ln2

A=π2ln2

 위처럼 정적분의 값을 문자로 치환하는 방법을 사용하면 부정적분을 구하기 힘든 경우에도 정적분의 값을 쉽게 구할 수 있을 수 있다. 물론 이 방법으로 구하기 힘든 경우도 있으니, 정적분할 때 이 방법을 사용한다고 항상 값을 구할 수 있는 것은 아니다.

 

 

 

더 이상 가정이란 없다. 우리는 계산한다. 그러나 이때 우리는 계산할 수 있다는 가정을 먼저 해야 한다.

-니체


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