미분과 적분(45)

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 흔히 우리는 정적분을 할 때, 미적분학의 기본정리를 근거로 하여 부정적분을 구한 뒤 윗끝과 아랫끝의 값을 대입하는 방법을 사용한다. 그러나 부정적분을 쉽게 알 수 없을 경우에는 다른 방법을 사용하여 정적분의 값을 구해야 한다. 본문에서는 그 중 한 가지 방법을 소개하고자 한다. 정적분의 값을 어떤 문자로 잡아준 뒤, 그 문자로 정리된 방정식을 만들어 정적분의 값을 도출하는 방법이다. 본문에서 다룰 적분은 ln(1+tan x)와 ln sin x의 적분이다.

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ \left( 1+\tan{x} \right) } }\, dx $$

 이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln(1+tan x)를 적분하는 방법이다.

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ \left( 1+\tan{x} \right) } }\, dx = A \text{라고 하자.} $$

x=π/4-t라고 두면 t=π/4-x, dx/dt=-1이므로

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ \left( 1+\tan{x} \right) } }\, dx = -\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}{ \ln{ \left\{ 1+\tan{ \left( \frac{\pi}{4}-t \right) } \right\} } }\, dt $$

$$ \text{이때, } \tan{ \frac{\pi}{4}-t } = \frac{ \tan{ \frac{\pi}{4} } -\tan{t} }{ 1+\tan{ \frac{\pi}{4} } \tan{ t } } = \frac{ 1-\tan{t} }{ 1+\tan{t} } \text{이므로} $$

$$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}{ \ln{ \left\{ 1+\tan{ \left( \frac{\pi}{4}-t \right) } \right\} } }\, dt = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}{ \ln{ \left( 1+\frac{ 1-\tan{t} }{ 1+\tan{t} } \right) } }\, dt $$

$$ = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0}{ \ln{ \frac{ 2 }{ 1+\tan{t} } } }\, dt $$

$$ = -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \left\{ \ln{2}-\ln{ \left( 1+\tan{t} \right) } \right\} }\, dt $$

$$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \left\{ \ln{ \left( 1+\tan{t} \right) } -\ln{2} \right\} }\, dt $$

$$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ \left( 1+\tan{t} \right) } }\, dt -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ 2 } }\, dt $$

$$ = A -\left[ t \ln{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} $$

$$ = A -\frac{\pi}{4} \ln{2} $$

$$ \text{이때, } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{ \ln{ \left( 1+\tan{x} \right) } }\, dx = -\int_{\frac{\pi}{4}}^{0}{ \ln{ \left\{ 1+\tan{ \left( \frac{\pi}{4}-t \right) } \right\} } }\, dt \text{이므로} $$

$$ A = \frac{\pi}{4} \ln{2} -A $$

$$ \therefore A = \frac{\pi}{8} \ln{2} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{x} } }\, dx $$

 이 형태로 되어있는 식을 보면 부정적분이 어떤 형태인지 알기 어렵다. 그러므로 정적분을 하기 위해 부정적분을 구하기는 방법이 아니라 다른 방법을 찾아야 한다. 다음은 ln sin x를 적분하는 방법이다.

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{x} } }\, dx = A \text{라고 하자.} $$

x=π/2-t라고 두면 t=π/2-x, dx/dt=-1이므로

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{x} } }\, dx = -\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{ \left( \frac{\pi}{2}-t \right) } } }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \cos{t} } }\, dt $$

$$ \text{따라서 } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \cos{t} } }\, dt = A \text{이므로} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{t} } }\, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \cos{t} } }\, dt = 2A $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{t} } }\, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \cos{t} } }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \left( \ln{ \cos{t} } +\ln{ \sin{t} } \right) }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{t} \cos{t} } }\, dt $$

$$ \text{이때, } \sin{2t} = 2 \sin{t} \cos{t} \text{이므로} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{t} \cos{t} } }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \frac{ \sin{2t} }{ 2 } } }\, dt $$

$$ \ln{ \frac{a}{b} } = \ln{ a } -\ln{ b } \text{이므로} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \frac{ \sin{2t} }{ 2 } } }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \left( \ln{ \sin{2t} } -\ln{2} \right) }\, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{2t} } }\, dt -\frac{\pi}{2} \ln{2} $$

$$ \text{따라서 } 2A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{2t} } }\, dt -\frac{\pi}{2} \ln{2} $$

u=2t라고 두면, du/dt=2이므로

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{2t} } }\, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}{ \ln{ \sin{u} } }\, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{u} } }\, du +\frac{1}{2} \int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{u} } }\, du $$

u=π-v라고 두면 v=π-u, du/dv=-1이므로

$$ \int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{u} } }\, du = -\int^{0}_{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{\left( \pi-v \right)} } }\, dv = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{v} } }\, dv = A $$

$$ \text{따라서 } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ \ln{ \sin{2t} } }\, dt = \frac{A}{2} +\frac{A}{2} = A \text{이므로} $$

$$ 2A = A -\frac{\pi}{2} \ln{2} $$

$$ \therefore A = -\frac{\pi}{2} \ln{2} $$

 위처럼 정적분의 값을 문자로 치환하는 방법을 사용하면 부정적분을 구하기 힘든 경우에도 정적분의 값을 쉽게 구할 수 있을 수 있다. 물론 이 방법으로 구하기 힘든 경우도 있으니, 정적분할 때 이 방법을 사용한다고 항상 값을 구할 수 있는 것은 아니다.

 

 

 

더 이상 가정이란 없다. 우리는 계산한다. 그러나 이때 우리는 계산할 수 있다는 가정을 먼저 해야 한다.

-니체

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