기하와 벡터(16)

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 이전 글에서 유향선분 벡터^[각주:1]에 대하여 알아보았다. 이 벡터는 연산이 가능하다. 본문에서는 벡터를 연산하는 규칙에 대해 다룰 것이다.

벡터의 합성

 벡터를 합성하는 방법은 물리를 배운 적이 있다면 아마 본 적이 있을 것이다. 벡터는 크기와 방향, 두 가지를 동시에 가지고 있는 개념이므로 합성을 하기 위해서 일반적인 덧셈이 아닌 다른 방법을 사용한다. 벡터를 합성하는 방법은 두 가지가 있는데, 평행사변형법과 삼각형법이 바로 그 두 방법이다.

평행사변형법

평행사변형법을 이용한 벡터의 합성

 물리에서 먼저 벡터의 합성을 접한 사람이라면 아마 이 방법을 들어보았을 것이다. 평행사변형법은 두 벡터의 시점을 일치시킨 후, 각 벡터를 평행이동하여 벡터의 시점이 다른 벡터의 종점에 일치시켜 사용하는 벡터의 합성방법이다. 이때, 두 벡터와 평행이동한 두 벡터는 평행사변형을 이루게 되고, 처음에 일치시킨 시점이 두 벡터를 합성한 벡터의 시점이, 평행이동한 벡터가 이루는 종점이 두 벡터를 합성한 벡터의 종점이 된다.

1. 두 벡터의 시점을 일치시킨다.
2. 두 벡터를 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형을 그린다.
3. 처음의 시점과 마주보는 평행사변형의 점을 두 벡터를 합성한 벡터의 종점으로 잡아주어 벡터를 합성한다.

삼각형법

삼각형법을 이용한 벡터의 합성

 삼각형법은 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 일치시킨 후, 일치시키지 않은 시점과 종점을 각각 두 벡터를 합성한 벡터의 시점과 종점으로 해주는 방법이다.

1. 두 벡터 u, v에 대하여 벡터 u의 종점과 v의 시점을 일치시킨다.
2. 벡터 u의 시점을 두 벡터를 합성한 벡터의 시점으로, 벡터 v의 종점을 두 벡터를 합성한 벡터의 종점으로 잡아주어 벡터를 합성한다.

벡터의 합성 표기

 위에서 벡터를 합성하는 두 가지 방법에 대해 알아보았다. 여타 수학 연산이 그렇듯이 벡터의 합성 또한 연산 기호가 있다. 벡터 a, b를 합성하여 만든 벡터를 u라고 할 때, 기호로 다음과 같이 쓴다.

$$ \vec{a}+\vec{b} = \vec{u} $$

 이러한 표기를 사용하기에 이 연산을 '더하기'라고 한다.

 

 

 

벡터는 과학과 수학에서 아주 중요한 위치를 차지하게 되었다. 놀라우리만큼 다양한 물질들이 크기와 방향을 가지며 평행사변형 법칙에 따라 합쳐진다는 사실을 알게 되었다.

-호프먼

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1. 벡터의 종류에는 유한선분 벡터와 벡터공간 내의 원소인 벡터가 있다. [본문으로]