기하와 벡터(18)

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 이전에 <고등학생을 위한 수학 - 기하와 벡터(16)>에서 다루었듯이 벡터는 연산이 가능하다. 다른 여러 연산에 대해서도 몇 가지 연산 법칙이 존재했듯이 벡터의 연산 또한 연산 법칙이 존재한다. 본문에서는 벡터 연산의 몇 가지 연산 법칙에 대하여 알아볼 것이다.

벡터의 합성

벡터의 합성.

 위 그림에서 볼 수 있듯이 한 벡터의 종점이 다른 벡터의 시점과 일치하면 다음이 성립한다.

$$ \overset{\longrightarrow}{AB} +\overset{\longrightarrow}{BC} = \overset{\longrightarrow}{AC} $$

즉, 이 경우 일치하는 부분은 지우고 순서대로 이어주면 된다.

벡터의 합성. 두 벡터의 시점이 일치하는 경우.

 또한 두 벡터의 시점이 일치하면 다음이 성립한다.

$$ \overset{\longrightarrow}{AC} -\overset{\longrightarrow}{AB} = \overset{\longrightarrow}{BC} $$

즉, 이 경우 일치하는 부분은 지우고 역순으로 이어주면 된다.

덧셈에 대한 교환 법칙

 두 벡터를 더할 때, 연산자를 기준으로 뒤집어 준 상태로 연산을 하여도 연산의 결과는 동일하다. 이를 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a} $$

이를 덧셈에 대하여 교환 법칙이 성립한다고 한다.

덧셈에 대한 결합 법칙

 여러 벡터를 더할 때, 연산의 순서를 바꿔주어도 연산의 결과는 바뀌지 않는다. 이를 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \left( \vec{a} +\vec{b} \right) +\vec{c} = \vec{a} +\left( \vec{b} +\vec{c} \right) $$

이를 덧셈에 대하여 결합 법칙이 성립한다고 한다.

스칼라곱에 대한 결합 법칙

 벡터는 덧셈 연산 뿐만 아니라 스칼라곱 연산도 있다. 스칼라곱 연산을 수행할 때 연산의 순서를 바꾸어도 연산의 결과는 변하지 않는다. 이를 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ a \left( b \vec{x} \right) = \left( ab \right) \vec{x} $$

이를 스칼라곱에 대하여 결합 법칙이 성립한다고 한다.

스칼라곱에 대한 분배 법칙

 우리가 흔히 생각하는 '곱셈' 연산을 수행할 때 생각하는 분배 법칙과 같은 형태가 스칼라곱을 할 때에도 성립한다. 이는 다음 두 가지 수식으로 표현 가능하다.

$$ a \left( \vec{x} +\vec{y} \right) = a \vec{x} +a \vec{y} $$

$$ \left( a+b \right) \vec{x} = a \vec{x} +b \vec{x} $$

이 두 가지를 스칼라곱에 대하여 분배 법칙이 성립한다고 한다.

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물리 문제를 풀어본 사람이라면 누구나 수학의 예측력과 설명력에 놀람을 감추지 못한다.

-아서 밀러

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