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역함수는 어떤 함수가 있을 때 그 함수의 대응 관계를 역으로 뒤집어 만든 함수이다. 그러한 까닭에 역함수에는 몇 가지 성질이 있다.
역함수의 성질 1 - 역함수가 존재하기 위한 조건
함수가 되기 위한 조건은 먼저 대응 관계가 존재해야 하며, 그 대응 관계에서 정의역의 각 원소에 대응하는 공역의 원소가 유일해야 한다. 역함수 또한 함수이므로 이 조건은 동일하다. 그러므로 역함수는 본래의 함수의 각 함숫값에 대응되는 정의역의 원소가 유일해야 한다. 정의역의 원소가 유일하다라... 어딘가 익숙한 느낌이 들지 않는가? 맞다. 이러한 성질을 가지는 함수는 전단사함수이다. 여기서 역함수의 성질 하나가 나온다. 어떤 함수가 역함수가 존재하기 위해서는 반드시 전단사함수여야 하며, 이렇게 정의된 역함수 또한 항상 전단사함수이다.
역함수의 성질 2 - 역원으로서의 역함수
어떤 연산에서 항등원과 역원은 아래와 같이 정의한다.
| 집합 \( A \)에서 집합 \( A \)에 대하여 닫혀있는 연산 \( \circ \)에 대한 항등원 \( o \)와 집합 \( A \)에 속한 원소 \( a \)의 역원 \( a^{-1} \)는 아래와 같이 정의한다. \( o \): 임의의 원소 \( a \in A \)에 대하여 \( x \circ o = o \circ x = x \)를 만족하는 원소 \( o \in A \)를 항등원이라 한다. \( a^{-1} \): 원소 \( a \in A \)에 대하여 \( a \circ b = b \circ a = o \)를 만족하는 유일한 원소 \( b \in A \)가 존재하면 원소 \( b \)를 역원이라 하고, \( b=a^{-1} \)라 쓴다. |
그렇다면 함수의 합성에서 항등원은 무엇일까? 바로 항등함수이다. 항등함수는 항상 집어넣은 원소와 동일한 원소를 배출한다. 그러므로 어떤 함수와 합성하여도 그 함수를 그대로 내어놓는다. 그렇다면 역함수는 어떨까? 역함수는 어떤 함수의 원소의 대응 관계 \( x \to y \)를 역으로 \( y \to x \)로 바꿔 놓은 함수이므로, 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 원소의 대응 관계가 \( x \to y \to x \)로 나타나므로 항등함수가 나온다. 즉, 어떤 함수의 역함수는 그 함수의 역원으로 작용함을 알 수 있다. 그러므로 아래 관계가 성립한다.
함수 \( y=f(x) \)의 역함수 \( x=f^{-1}(y) \)가 존재할 때,
\( f(f^{-1}(y)) = y \), \( f^{-1}( f(x) ) = x \), \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I \)
(단, \( I \)는 항등함수)
수학자는 수학을 잘하는 사람이 아니라 수학을 사랑하는 사람이다.
-무명의 수학자
