항등원, 역원

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항등원(Identity Element)

$$ \forall a \in F \text{, } b \text{ } s.t. \text{ } a☆b = a $$

F에 속하는 임의의 원소 a에 대하여 a☆b=a가 되도록 하는 F에 속하는 원소 b를 연산 ☆에 대한 항등원이라 한다.

 어떤 집합^[각주:1]에서 두 원소 간 연산을 할 때, 어떤 원소를 택하든 그 원소가 연산값으로 나오도록 하는 원소를 그 연산에 대한 항등원이라고 한다. 주로 o, e, O 등으로 표현한다. 한 집합에서 항등원은 존재하거나 존재하지 않을 수 있고, 존재할 경우 오직 하나이다.

예시

덧셈에 대한 항등원 0

곱셈에 대한 항등원 1

역원(Inverse Element)

F에서 연산 ☆에 대한 항등원 o가 존재할 때, F에 속하는 어떤 원소 a에 대하여 a☆b=o를 만족하는 b가 존재하면 원소 b를 연산 ☆에서 a에 대한 역원이라고 한다. 한 집합에서 역원은 존재하거나 존재하지 않을 수 있다. 역원이 존재할 경우 한 원소에 대한 역원은 오직 하나이며, 한 연산에 대한 역원은 모두 같지 않을 수 있다.

예시

덧셈에서 4에 대한 역원 -4

덧셈에서 -8에 대한 역원 8

곱셈에서 5에 대한 역원 1/5

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1. 또는 체 [본문으로]