유향선분 벡터

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벡터

 벡터는 크기-길이-와 방향을 가진 유향선분으로 다음의 8가지 성질을 가진다.

성질1

$$ \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{, } \vec{y} \text{에 대하여 } \vec{x}+\vec{y} = \vec{y}+\vec{x} \text{이다.} $$

 덧셈 연산에 대하여 교환법칙이 성립한다.

성질2

$$ \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{, } \vec{y} \text{, } \vec{z} \text{에 대하여 } \left( \vec{x}+\vec{y} \right) +\vec{z} = \vec{x} +\left( \vec{y}+\vec{z} \right) \text{이다.} $$

 덧셈 연산에 대하여 결합법칙이 성립한다.

성질3

$$ \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{에 대하여 } \vec{x} + \vec{o} = \vec{x} \text{를 만족하는 벡터 } \vec{o} \text{가 존재한다.} $$

 덧셈 연산에 대하여 항등원이 존재하며, 이를 영벡터라고 한다.

성질4

$$ \text{각 벡터 } \vec{x} \text{에 대하여 } \vec{x} + \vec{y} = \vec{o} \text{를 만족하는 벡터 } \vec{y} \text{가 존재한다.} $$

 덧셈 연산에서 각 벡터에 대한 역원이 존재한다.

성질5

$$ \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{에 대하여 } 1 \vec{x} = \vec{x} \text{이다.} $$

 스칼라곱에 대하여 항등원이 존재하며, 그 항등원은 1이다.

성질6

$$ \text{모든 실수 } a \text{, } b \text{와 } \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{에 대하여 } \left( ab \right) \vec{x} = a \left( b \vec{x} \right) \text{이다.} $$

 스칼라곱에 대하여 결합법칙이 성립한다.

성질7

$$ \text{모든 실수 } a \text{와 } \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{, } \vec{y} \text{에 대하여 } a \left( \vec{x} +\vec{y} \right) = a \vec{x} +a \vec{y} \text{이다.} $$

 스칼라곱에 대하여 분배법칙이 성립한다.

성질8

$$ \text{모든 실수 } a \text{, } b \text{와 } \text{모든 벡터 } \vec{x} \text{에 대하여 } \left( a+b \right) \vec{x} = a \vec{x} +b \vec{x} \text{이다.} $$

 스칼라곱에 대하여 분배법칙이 성립한다.

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