동치관계

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관계(Relation)

 집합에서 관계란 집합 내 임의의 원소간의 연관성을 따지는 개념이다. 집합 A에 속한 임의의 원소 x, y에 대하여 x, y가 관계 R을 만족하기 위한 필요충분조건은 (x, y) ∈R이다. 이때, (x, y) ∈R을 x~y, x R x 등으로 쓸 수 있다.

동치관계(Equivalence Relation)

 집합 A의 관계 R이 다음 세 조건을 만족하면, R을 A의 동치관계라고 한다.

반사성(Reflexivity)

$$ \forall x \in A, x R x $$

집합 A에 속하는 임의의 원소 x에 대하여 x R x이다.

 재귀성이라고도 한다. 집합 A의 모든 원소가 자기자신과 대응되는 관계 R을 가지면 반사성 혹은 재귀성을 가진다고 한다.

대칭성(Symmetry)

$$ x R y \Longrightarrow y R x $$

원소 x, y에 대하여 x가 y에 대응되면 y가 x에 대응된다.

추이성(Transivity)

$$ \left( x R y \right) \land \left( y R z \right) \Longrightarrow x R z $$

x가 y에 대응되고 y가 z에 대응되면 x가 z에 대응된다.

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