확률과 통계(16)

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 앞선 글에서 다룬 함수의 개수를 구하는 방법에 대해 다루었다. 경우의 수를 구하는 유형 중 이러한 함수의 개수를 구하는 방법과 비슷한 유형이 하나 더 있다. 바로 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 방법이다. 본문에서는 이러한 유형의 경우의 수를 구하는 방법에 대하여 알아볼 것이다.

음이 아닌 정수해의 개수

 음이 아닌 정수해란 방정식의 수많은 해 중 0 이상의 정수, 즉 0과 자연수만으로 이루어지는 해를 말한다. 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 방법은 상당히 다양한데, 그 유형에 따라 여러 방법을 섞어 쓰면 풀이하는데 도움이 된다. 여기서는 그중 주로 사용하는 세 가지 방법에 대해 알아볼 것이다. 이 방법에 대해 알아보기 위해 \( a \), \( b \), \( c \)에 대한 방정식 \( a+b+c = 7 \)을 예로 들 것이다. 먼저 음이 아닌 정수 \( a \), \( b \), \( c \)에 대하여 방정식의 해를 구해보자.

1. 노가다를 통한 경우의 수 구하기

 이전에도 언급했지만 방법이 기억나지 않을 때, 가장 좋은 방법은 노가다로 구하는 것이다. 노가다로 구하는 방법은 별 거 없다. 그냥 모든 경우를 다 적으면 된다. 아래는 노가다로 구한 경우의 수이다.

(0, 0, 7)	(1, 0, 6)	(2, 0, 5)	(3, 0, 4)	(4, 0, 3)	(5, 0, 2)	(6, 0, 1)	(7, 0, 0)
(0, 1, 6)	(1, 1, 5)	(2, 1, 4)	(3, 1, 3)	(4, 1, 2)	(5, 1, 1)	(6, 1, 0)
(0, 2, 5)	(1, 2, 4)	(2, 2, 3)	(3, 2, 2)	(4, 2, 1)	(5, 2, 0)
(0, 3, 4)	(1, 3, 3)	(2, 3, 2)	(3, 3, 1)	(4, 3, 0)
(0, 4, 3)	(1, 4, 2)	(2, 4, 1)	(3, 4, 0)
(0, 5, 2)	(1, 5, 1)	(2, 5, 0)
(0, 6, 1)	(1, 6, 0)
(0, 7, 0)

 따라서 구하는 경우의 수는 36이다.

2. 조합을 이용한 경우의 수 구하기

 방정식 \( a+b+c = 7 \)의 음이 아닌 정수해의 개수를 구할 때, 중복조합을 이용하여 그 경우의 수를 구할 수 있다. 그림과 같이 7을 단위 1로 전부 쪼개고, 쪼개어 나온 7개의 1과 세 정수 \( a \), \( b \), \( c \) 간의 대응 관계를 만들어준다. 이 대응관계로 정해지는 1에 대응하는 문자열의 개수가 곧 구하는 해의 개수가 된다. 여기서 7개의 1은 모두 동일한 개체이므로 대응관계를 이용해 만들어진 문자열은 순서를 생각하지 않고, 오직 각 문자의 개수만으로 구분된다. 따라서 이는 서로 다른 3개의 문자가 중복을 허용하여 7개의 1을 고르는 경우의 수로 생각할 수 있으므로 구하는 경우의 수는 \( {}_{3}\mathrm{H}_{7} = {}_{9}\mathrm{C}_{7} = 36 \)이 된다.

3. 식을 이용해 구하는 방법

 이 방법은 위의 두 방법을 이용하지만 그 시작이 다르다. 세 자연수 \( a \), \( b \), \( c \) 중 둘은 짝수이고, 하나는 홀수인 경우, 방정식 \( a+b+c = 7 \)의 해의 개수를 구해보자. 먼저 두 자연수 \( a \), \( b \)를 짝수로, 자연수 \( c \)를 홀수로 잡아주면, 음이 아닌 세 정수 \( a^{\prime} \), \( b^{\prime} \), \( c^{\prime} \)에 대하여 \( a = 2a^{\prime}+2 \), \( b = 2b^{\prime}+2 \), \( c = 2c^{\prime}+1 \)으로 둘 수 있다. 이 세 등식을 방정식 \( a+b+c = 7 \)에 대입하여 정리하면 \( a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime} = 1 \)이 된다. 음이 아닌 세 정수 \( a^{\prime} \), \( b^{\prime} \), \( c^{\prime} \)에 대하여 방정식 \( a^{\prime}+b^{\prime}+c^{\prime} = 1 \)의 해의 개수는 ( 2. )에 의하여 \( {}_{3}\mathrm{H}_{1} = {}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3 \)이다. 이때, 세 자연수 \( a \), \( b \), \( c \) 중 둘은 짝수, 하나는 홀수로 결정해주는 경우의 수는 \( {}_{3}\mathrm{C}_{1} = 3 \)이므로 구하는 경우의 수는 \( 3 \times 3 = 9 \)가 된다.

 이 방법을 사용할 때는 음이 아닌 정수를 이용하여 각 미지수를 표현한 후, 위의 두 방법을 적절히 섞어 해의 개수를 구한다.

 

 

 

모든 자연현상은 그저 작은 수의 불변하는 법칙에서 나온 수학적인 결과일 뿐이다.

-라플라스

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