대수(2)

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 초등학교에서는 자연수로 시작하여 수를 0, 분수로 확장하였고, 이후 중학교에서 이를 확장하여 음의 정수를 포함하는 정수, 그리고 우리의 일반적인 표현법으로는 표현하기 힘든 수인 무리수와 이 모두를 포함하는 실수까지 수를 확장하였다. 고등학교에서는 더 넓은 범위의 수를 새로 정의하는데 그것이 바로 복소수이다. 본문에서는 이 복소수를 정의하기 위해 그 이전의 하위 개념인 허수에 대해 알아볼 것이다.

허수

 먼저 복소수가 무엇인지 알기 위해서는 허수라는 개념을 알아야 한다. 허수를 정의하기 위해서 \( \sqrt{2} \)를 어떻게 정의하였는지 생각해보자. \( \sqrt{2} \)는 방정식 \( x^{2} = 2 \)의 양의 해이다. 즉, 제곱해서 2가 되는 수 중 양의 값을 의미한다. 이런 식으로 수를 정의하면 제곱해서 0 이상이 되는 수 모두를 정의할 수 있게 된다. 그런데 생각을 해보자. 우리가 이와 같이 수를 정의하면 모든 실수에 대해서 수를 정의하긴 했지만, 제곱해서 0 미만이 되는 수 또한 생각해 볼 수 있다. 그러나 우리가 알고 있는 수, 즉 실수 범위에서는 이러한 수를 찾을 수 없다. 왜? 실수는 제곱하면 양수가 되므로. 그렇기에 우리는 새로운 수를 정의하고자 한다. 제곱하여 음수가 되는 수를 허수라고 한다.

허수 단위 \( i \)

 모든 수는 기본적으로 하나의 단위라는 것이 있어야 한다. 모든 수를 표현하는데 사용할 수 있는 자연수에서 1이 단위가 되듯이 허수에서도 새로운 단위를 만들어 주어야 한다. 허수에서는 단위를 다음과 같이 정의한다.

방정식 \( x^{2} = -1 \)의 한 해를 \( i \)라고 할 때,

이 \( i \)를 허수 단위 \( i \)라고 한다.

즉, 허수 단위 \( i \)는 제곱해서 -1이 되는 수를 의미한다.

 앞서 허수의 정의를 제곱하여 음수가 되는 수라고 하였다. 정확하게는 일부 허수들에게만 허용되는 말이다. 허수는 허수 단위 \( i \)가 살아있는 수라고 하는 것이 좀 더 좋은 표현일 것이다.

 

 

 

수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.

-토비아스 단치히

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