확률과 통계(15)

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 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구해보자.

\( X = \left\{ a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \right\} \), \( Y = \left\{ b_{1} \text{, } b_{2} \text{, } b_{3} \text{, } b_{4} \text{, } b_{5} \right\} \)인 두 집합 \( X \), \( Y \)에 대하여 \( f(a_{1}) \le f(a_{2}) \le f(a_{3}) \)를 만족하는 함수 \( f \): \( X \to Y \)의 개수 (단, \( b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4} < b_{5} \))

 이처럼 함수 \( f \)의 조건을 짜주었을 때, 함수의 개수는 어떻게 구할까? 조건을 잘 보면 함수값의 크기에 따라 순서를 결정해준다. 그러므로 함수값이 될 원소들을 골라주고, 그 골라준 원소를 크기 순서대로 배열하여 함수를 결정할 수 있다. 다만 이 경우에는 함숫값이 동일한 경우, 즉 같은 값을 중복하여 골라 함숫값으로 사용하는 것이 가능하다. 그러므로 이 방법에 따라 함수의 개수를 구하는 방법은 아래와 같다.

함수의 개수를 구하는 과정

 먼저 조건에서 크기 순서대로 배열할 원소는 중복을 허용하여 3개 골라야 하므로 함수값 또한 중복을 허용하여 3개를 골라야 한다.

공역 \( Y \)에서 중복을 허용하여 함숫값 3개를 고르는 경우의 수는 \( {}_{5} \mathrm{H}_{3} \)

골라준 원소를 크기 순서대로 나열하는 경우의 수는 1

따라서 구하는 함수의 개수는

\( {}_{5}\mathrm{H}_{3} \times 1 = {}_{7}\mathrm{C}_{3} = 35 \)

 

 

 

근본적인 수학 탐구에는 마지막 종착점이 없으며 최초의 출발점도 없다.

-펠릭스 클라인

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