수의 체계

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$$ \text{복소수} \begin{cases} \text{실수} \begin{cases} \text{유리수} \begin{cases} \text{정수} \begin{cases} \text{양의 정수} \left( \text{자연수} \right) \\ \\ 0 \\ \\ \text{음의 정수} \end{cases} \\ \\ \text{정수가 아닌 유리수} \end{cases} \\ \\ \text{무리수}  \end{cases} \\ \\ \text{허수} \begin{cases} \text{순허수} \\ \\ \text{순허수가 아닌 허수} \end{cases} \end{cases} $$

복소수

 실수와 허수를 포함하는 수 체계. 모든 복소수를 복소평면이라는 하나의 평면상에 나타낼 수 있다.

형태

$$ a+bi (a \text{, } b \text{는 실수, } i \text{는 허수단위} ) $$

여기서 a를 실수부, b를 허수부라고 한다.

예시

8

8+4i

-2

-3i

허수

 허수 단위 i의 계수-허수부-가 0이 아닌 수.

형태

$$ a+bi \left( a \text{, } b \text{는 실수, } b \ne 0 \right) $$

예시

4+5i

-8i

i

순허수

 허수 중 실수부가 0인 수.

형태

$$ bi \left( b \text{는 } 0 \text{이 아닌 실수, } i \text{는 허수 단위} \right) $$

예시

3i

-7i

실수

  유리수와 무리수를 포함하며 허수를 포함하지 않는 수 체계. 흔히 허수와 달리 실존하는 수라고 부른다.

정의

체를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈이라는 연산을 갖춘다.

순서체를 이룬다.

완비적이다.

예시

4

-7

0

$$ { {1} \over {4} } $$

$$ \sqrt{2} $$

$$ \pi $$

$$ e $$

유리수

 실수 중 정수의 비로 표현이 가능한 수. 정수와 분수가 포함된다. 실수와 달리 완비적이지 않다.

형태

$$ { {q} \over {p} } (p \text{는 } q \text{와 서로소인 정수, } p \ne 0) $$

예시

0

1

-9

$$ { {9} \over {5} } $$

무리수

 실수 중 정수의 비로 표현이 불가능한 수. 즉, 유리수를 제외한 모든 실수가 된다.

예시

$$ \sqrt{2} $$

$$ \sqrt{5} $$

$$ \pi $$

$$ e $$

정수

 양의 정수와 음의 정수, 0을 포함하는 수 체계. 여기서 양의 정수는 자연수이며, 음의 정수는 자연수에 (-)부호를 붙여 음수로 만든 수이다. 0은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다.

예시

4

-5

0

자연수

 정수 중 양의 정수를 일컫는 단어. 가장 기본이 되는 수이다.

정의

 자연수 집합 N은 다음과 같이 정의된다.(페아노 공리계)

• N은 1이라는 원소를 갖는다.
• N의 임의의 원소 n에 대하여 그 n의 다음수 n'도 N의 원소다.
• 1을 다음수로 갖는 원소는 N에 존재하지 않는다.
• N의 두 원소가 같은 다음수를 가진다면, 두 원소는 같다.

 ≡특정 다음수를 가지는 원소는 N에서 유일하다.

• N의 부분집합 S가 1∈S이며, ∀n∈S에 대하여 n'∈S이면, S=N이다.

 -따름정리: 수학적 귀납법

예시

1, 2, 3, 4...

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