명제(Proposition)
논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, 참과 거짓이 명확하게 판단되는 문장을 의미한다. 어떤 문장이 사람에 따라 기준이 달라 참과 거짓이 모호할 경우 이는 명제가 아니다.
예시
모든 자연수 n은 3의 배수이다. (거짓인 명제)
해바라기는 아름답다. ('아름다움'의 기준이 모호하기에 이는 명제가 아니다.)
x=7이다. (x의 값에 따라 진리값이 달라지므로 명제가 아니다.)
x=2이면 x+3=7이다. (거짓인 명제)
4는 유리수이다. (참인 명제)
공리(Axiom)
증명할 필요 없이 자명하게 참으로 받아들이는 명제이다. 즉, 공리는 수학 등의 이론 체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 명제가 된다.
예시
1은 가장 작은 자연수이다. (자연수 공리 중)
두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다. (유클리드 기하학 중)
공준(Postulate)
공리와 거의 같은 뜻으로 사용되나 공리가 일반적으로 여러 학문적 영역에서 공통으로 적용할 수 있는 자명한 명제라고 하면, 공준은 각 영역별로 자명하게 받아들여지는 가정을 일컫는 말이다.
예시
임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180˚)보다 작을 때, 두 직선을 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다. (평행선 공준, 유클리드 기하학 제 5공준)
평행선 공리, 유클리드 기하학의 제 5공리라고도 불린다. 이 공준의 표현을 달리하여 서술하면 '한 직선의 바깥의 어떤 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 하나 존재한다.' 등으로 바꿀 수 있다. 이 명제가 공준인 이유는 가우스 등의 수학자들이 유클리드 기하학의 제 1~4 공리를 만족시키면서 제 5공리를 만족시키지 않는 '비유클리드 기하학'을 만들었기 때문이다.
