정의와 정리

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정의(definition)

 정의는 어떠한 개념을 명확히 규정한 명제로 간단히 수학자들간의 약속이라고 할 수 있다. 정의를 할 때에는 수학적으로 오류가 없이 명확하게 표현해야 한다.

예시

 정삼각형의 정의: 세 변의 길이가 같은 삼각형

정리(theorem)

 정리란 참임이 증명된 명제를 말한다. 명제는 보조정리와 따름정리로 구분하기도 한다.

예시

피타고라스의 정리: 직각삼각형에 대하여 빗변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.

  보조정리(lemma)

 보조정리란 이미 참임이 증명되어 증명과정에 사용하는 정리를 말한다. 증명과정 도중 한 정리가 필요한 경우 증명한 후 보조정리로 사용하기도 한다.

예시

$$ f(x) = \sin{x} \text{이면 } f^{\prime}(x) = \cos{x} $$

보조정리 - 삼각함수의 덧셈정리

$$ \sin{ \left( \alpha + \beta \right) } = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} $$

$$ f(x) = \sin{x} $$

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{x+h}-\sin{x}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}} \over {h} } } \\ && \left( \because \text{삼각함수의 덧셈정리: } \sin{ \left( \alpha + \beta \right) } = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \right) \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { { \cos{x}\sin{h}-\sin{x} \left( 1-\cos{h} \right) } \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left( \cos{x} { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x}{ {1-\cos{h}} \over {h} } \right) } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {\left( 1-\cos{h} \right) \left( 1+\cos{h} \right)} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {1-\cos^{2}{h}} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {\sin^{2}{h}} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{h}} \over {h} } \left\{ \cos{x}-\sin{x} \cdot { {\sin{h}} \over {\left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& 1 \times \left( \cos{x}-\sin{x} \times { {0} \over {2} } \right) \\ && \left( \because \lim_{\theta \to 0}{ { {\sin{\theta}} \over {\theta} } } = 1 \right) \\ &=& \cos{x} \end{matrix} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = \cos{x} $$

 

  따름정리(Corollary)

 따름정리란 특정한 정의 또는 정리에 의해 항상 참임이 보장되는 정리를 말한다.

예시

정삼각형의 정의는 '세변의 길이가 같은 삼각형'이므로 정삼각형의 내심과 외심, 무게중심의 위치는 모두 같다.

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