자연수 - 페아노 공리계에 따른 정의

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

페아노 공리계 - 자연수의 동일 관계

1. 임의의 \( x \in N \)에 대하여 \( x = x \)이다.

2. 임의의 \( x \), \( y \in N \)에 대하여 \( x = y \)이면 \( y = x \)이다.

3. 임의의 \( x \), \( y \), \( z \in N \)에 대하여 \( x = y \)이고 \( y = z \)이면 \( x = z \)이다.

4. 임의의 \( a \), \( b \)에 대하여 \( a \in N \)이고 \( a = b \)이면 \( b \in N \)이다.

페아노 공리계 - 자연수의 정의

1. \( 1 \in N \)이다.

2. 임의의 \( n \in N \)에 대하여 그 다음수 \( n^{+} \in N \)이다.

3. 임의의 \( n \in N \)에 대하여 \( n^{+} \ne 1 \)이다. 즉, \( n^{+} = 1 \)인 \( n^{+} \in N \)은 존재하지 않는다.

4. 임의의 \( m \), \( n \in N \)에 대하여 \( m^{+} = n^{+} \)이면 \( m = n \)이다.

5. 어떤 집합 \( S \)가 다음 두 조건을 만족하면 \( S = N \)이다.

 \( \cdot \) \( 1 \in S \)이다.

 \( \cdot \) 임의의 \( n \in N \)에 대하여 \( n \in S \)이면 \( n^{+} \in S \)이다.

페아노 공리계 - 확장된 자연수의 정의

1. \( 0 \in N \)이다.

2. 임의의 \( n \in N \)에 대하여 그 다음수 \( n^{+} \in N \)이다.

3. 임의의 \( n \in N \)에 대하여 \( n^{+} \ne 0 \)이다. 즉, \( n^{+} = 0 \)인 \( n^{+} \in N \)은 존재하지 않는다.

4. 임의의 \( m \), \( n \in N \)에 대하여 \( m^{+} = n^{+} \)이면 \( m = n \)이다.

5. 어떤 집합 \( S \)가 다음 두 조건을 만족하면 \( S = N \)이다.

 \( \cdot \) \( 0 \in S \)이다.

 \( \cdot \) 임의의 \( n \in N \)에 대하여 \( n \in S \)이면 \( n^{+} \in S \)이다.

---